Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen. Om temperaturen vid tidpunkten t timmar efter midnatt ges av funktionen T(t) = 15 + 10sin(πt/12), vad är den maximala temperaturförändringen under dagen?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringen.

Beräkning: T(t) = 15 + 10sin(πt/12)

Resultat: T(t) = 15 + 10sin(πt/12)

Steg 2

Beskrivning: Bestäm derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = 10 * (π/12) * cos(πt/12)

Resultat: T'(t) = (5π/6) * cos(πt/12)

Steg 3

Beskrivning: Sätt derivatan till noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: (5π/6) * cos(πt/12) = 0

Resultat: cos(πt/12) = 0

Steg 4

Beskrivning: Lös ekvationen för t.

Beräkning: πt/12 = π/2 + kπ, k ∈ Z

Resultat: t = 6 + 12k, k ∈ Z

Steg 5

Beskrivning: Identifiera relevanta kritiska punkter inom intervallet [0, 24].

Beräkning: t = 6, 18

Resultat: t = 6, 18

Steg 6

Beskrivning: Beräkna temperaturerna vid t = 0, 6, 18, 24.

Beräkning: T(0) = 15, T(6) = 25, T(18) = 5, T(24) = 15

Resultat: T(0) = 15, T(6) = 25, T(18) = 5, T(24) = 15

Steg 7

Beskrivning: Beräkna den maximala temperaturförändringen.

Beräkning: Maximal förändring = 25 - 5

Resultat: 20

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll, vilket kan indikera maximala eller minimala värden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringen i aktiekursen över tid. Om aktiekursen ges av S(t) = 100 + 20cos(πt/6), vad är den maximala förändringen i aktiekursen under en dag?

Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm den maximala förändringen i aktiekursen.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar en pendels rörelse där vinkeln θ(t) = 30sin(πt/4). Vad är den maximala vinkelförändringen under en period?

Förklaring: Beräkna derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm den maximala vinkelförändringen.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar förändringen i patientens kroppstemperatur över tid. Om temperaturen ges av T(t) = 37 + 2sin(πt/8), vad är den maximala temperaturförändringen under en dag?

Förklaring: Använd derivata för att identifiera kritiska punkter och bestäm den maximala temperaturförändringen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Analysera funktionen för att förstå hur temperaturen förändras över tid.

Lösningsstrategi

Använd derivata för att hitta kritiska punkter och beräkna temperaturerna vid dessa punkter för att bestämma den maximala förändringen.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att jämföra temperaturerna vid kritiska punkter och ändpunkter.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Maximal förändring

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.