Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En datavetare optimerar prestandan för en sökalgoritm genom att minimera tiden T(x) = 5x^2 - 40x + 150, där x är antalet parallella processer som används. Bestäm det optimala antalet processer för att minimera tiden.

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av T(x) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(x) = d/dx (5x^2 - 40x + 150) = 10x - 40

Resultat: 10x - 40

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10x - 40 = 0

Resultat: x = 4

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att x = 4 ger ett minimum genom att undersöka andra derivatan.

Beräkning: T''(x) = d^2/dx^2 (5x^2 - 40x + 150) = 10

Resultat: 10

Steg 4

Beskrivning: Eftersom T''(x) > 0, är x = 4 en minimipunkt.

Beräkning: x = 4

Resultat: 4

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Extremvärden kan hittas genom att undersöka derivatan och andra derivatan.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 3x^2 - 18x + 50 för att minimera kostnaderna. Bestäm det optimala värdet av x.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och verifiera med andra derivatan.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten v(t) = 4t^2 - 16t + 25 för att hitta när hastigheten är som lägst. Bestäm det optimala värdet av t.

Förklaring: Beräkna derivatan av v(t) och sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 2t^2 - 12t + 30 för att optimera doseringen. Bestäm det optimala värdet av t.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och kontrollera med andra derivatan för att säkerställa ett minimum.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som behöver optimeras och bestämma variabeln som påverkar resultatet.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, hitta kritiska punkter och verifiera med andra derivatan.

Verifieringsmetod

Kontrollera att andra derivatan är positiv för att säkerställa ett minimum.

Nyckelbegrepp

Derivata Extremvärden Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.