25 meter
← Tillbaka till Envariabelanalys
Envariabelanalys
En arkitekt optimerar formen på en bro för att minimera materialanvändningen. Brospannet är 100 meter långt och ska ha en parabolisk form. Arkitekten vill minimera materialet genom att bestämma den optimala höjden på parabolen vid dess högsta punkt. Anta att materialanvändningen är proportionell mot arean under parabolen. Bestäm den optimala höjden på parabolen.
SVAR
STEG-FÖR-STEG LÖSNING
Steg 1
Beskrivning: Definiera parabolen som y = ax^2 + bx + c med symmetri kring x = 0 och y(0) = h.
Beräkning: y = ax^2 + h
Resultat: y = ax^2 + h
Steg 2
Beskrivning: Använd gränsvärdena för brospannet: y(-50) = 0 och y(50) = 0.
Beräkning: 0 = a(-50)^2 + h och 0 = a(50)^2 + h
Resultat: a = -h/2500
Steg 3
Beskrivning: Beräkna arean under parabolen från x = -50 till x = 50.
Beräkning: A = ∫[-50,50] (ax^2 + h) dx
Resultat: A = 2 * (1/3 * a * 50^3 + h * 50)
Steg 4
Beskrivning: Sätt in a = -h/2500 i areaberäkningen och förenkla.
Beräkning: A = 2 * (1/3 * (-h/2500) * 50^3 + h * 50)
Resultat: A = 2 * (-h/3 + 50h)
Steg 5
Beskrivning: Derivera arean A med avseende på h och sätt derivatan till noll för att hitta minimipunkten.
Beräkning: dA/dh = 2 * (-1/3 + 50) = 0
Resultat: h = 25
Steg 6
Beskrivning: Verifiera att h = 25 ger en minimering av materialanvändningen.
Beräkning: d^2A/dh^2 > 0
Resultat: 25 meter
NÖDVÄNDIG KUNSKAP
Derivata
Grundläggande
Förståelse av hur man använder derivata för att hitta extremvärden.
Läs mer →
Areaberäkning och volymer
Grundläggande
Förståelse av hur man beräknar areor under kurvor.
Läs mer →ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1 (Nivå A)
Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen för att minimera produktionskostnaderna. Kostnadsfunktionen är C(x) = 5x^2 - 20x + 100. Bestäm det antal enheter x som minimerar kostnaden.
Förklaring: Använd derivata för att hitta minimipunkten för kostnadsfunktionen.
Uppgift 2 (Nivå B)
Fråga: En fysiker studerar rörelsen hos en partikel längs en bana beskriven av y = 3x^2 - 12x + 9. Bestäm x-värdet där partikelns hastighet är noll.
Förklaring: Derivera positionsfunktionen för att hitta hastighetsfunktionen och sätt den till noll för att lösa för x.
Uppgift 3 (Nivå C)
Fråga: En läkare beräknar den optimala dosen av ett läkemedel för att maximera effekten. Effekten ges av E(d) = -2d^2 + 12d. Bestäm den dos d som maximerar effekten.
Förklaring: Använd derivata för att hitta maximeringspunkten för effektfunktionen.
TANKESÄTT OCH STRATEGI
Första intryck
Identifiera att problemet handlar om att minimera materialanvändning genom att optimera en parabolisk form.
Lösningsstrategi
Använd derivata för att hitta extremvärdet av arean under parabolen och därmed minimera materialanvändningen.
Verifieringsmetod
Kontrollera att den andra derivatan är positiv för att säkerställa att det är en minimipunkt.
Nyckelbegrepp
Derivata
Extremvärden
Areaberäkning
Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag.
Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information.
Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.