Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En ekonom analyserar efterfrågan på en ny produkt över tid. Efterfrågan D(t) på produkten kan beskrivas av funktionen D(t) = 100e^{-0.05t} där t är tiden i månader. Bestäm den tidpunkt då efterfrågan har minskat till 50 enheter.

SVAR

13.86

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ställ upp ekvationen för när efterfrågan är 50 enheter.

Beräkning: 100e^{-0.05t} = 50

Resultat: 100e^{-0.05t} = 50

Steg 2

Beskrivning: Dela båda sidor av ekvationen med 100 för att isolera exponentialtermen.

Beräkning: e^{-0.05t} = 0.5

Resultat: e^{-0.05t} = 0.5

Steg 3

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor för att lösa ut t.

Beräkning: ln(e^{-0.05t}) = ln(0.5)

Resultat: -0.05t = ln(0.5)

Steg 4

Beskrivning: Lös ut t genom att dela båda sidor med -0.05.

Beräkning: t = ln(0.5) / -0.05

Resultat: t = 13.86

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur man löser exponentialekvationer med hjälp av logaritmer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar efterfrågan på en annan produkt som beskrivs av funktionen D(t) = 200e^{-0.03t}. Bestäm den tidpunkt då efterfrågan har minskat till 100 enheter.

Förklaring: Använd samma metod som i huvudfrågan för att lösa ekvationen 200e^{-0.03t} = 100.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar radioaktivt sönderfall där mängden av ett ämne beskrivs av M(t) = 500e^{-0.07t}. Bestäm den tidpunkt då mängden har minskat till 250 enheter.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa ekvationen 500e^{-0.07t} = 250.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar hur länge en medicin finns kvar i kroppen. Koncentrationen av medicinen beskrivs av C(t) = 75e^{-0.1t}. Bestäm den tidpunkt då koncentrationen har minskat till 30 enheter.

Förklaring: Lös ekvationen 75e^{-0.1t} = 30 med hjälp av logaritmer.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentialekvation för att hitta en specifik tidpunkt.

Lösningsstrategi

Isolera exponentialtermen och använd logaritmer för att lösa ut variabeln t.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att sätta in det funna värdet av t tillbaka i den ursprungliga ekvationen.

Nyckelbegrepp

Exponentialfunktioner Naturliga logaritmer Ekvationslösning

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.