Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En kemist beräknar reaktionshastigheten för en kemisk process där hastigheten v(t) i mol/s ges av funktionen v(t) = 3t^2 - 12t + 9. Vid vilken tidpunkt t är reaktionshastigheten som störst?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av v(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: v'(t) = d/dt (3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12

Resultat: 6t - 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6t - 12 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 2 ger ett maximum genom att undersöka tecknet på derivatan före och efter t = 2.

Beräkning: För t < 2, v'(t) < 0 och för t > 2, v'(t) > 0

Resultat: t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att bestämma hastighetsförändringar och hitta extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringen i aktiekursen som ges av funktionen p(t) = -2t^2 + 8t + 5. Vid vilken tidpunkt t är aktiekursen som högst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta extremvärden.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten hos en partikel som ges av v(t) = 4t^3 - 18t^2 + 24t. Vid vilken tidpunkt t är hastigheten som störst?

Förklaring: Beräkna derivatan och sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet som ges av c(t) = 5e^(-0.5t) - 0.5t. Vid vilken tidpunkt t är koncentrationen som högst?

Förklaring: Använd derivatan och exponentiella funktioner för att hitta extremvärden.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta extremvärden för en given funktion.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter och verifiera om dessa är maximipunkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera tecknet på derivatan före och efter den kritiska punkten.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.