Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En meteorolog studerar temperaturförändringar i en region och har observerat att temperaturen $T(t)$ i grader Celsius vid tidpunkten $t$ timmar efter midnatt kan modelleras av funktionen $T(t) = 10 + 5\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$. Bestäm den tidpunkt på dagen då temperaturen är som högst och ange denna temperatur.

SVAR

Temperaturen är som högst klockan 06:00 (t = 6 timmar) och den högsta temperaturen är 15 grader Celsius.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera funktionen för temperaturen och bestäm dess derivata för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: $T(t) = 10 + 5\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$, $T'(t) = \frac{5\pi}{12}\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)$

Resultat: Derivatan är $T'(t) = \frac{5\pi}{12}\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)$

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: $\frac{5\pi}{12}\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) = 0 \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) = 0$

Resultat: $\frac{\pi}{12}t = \frac{\pi}{2} + n\pi$, där $n$ är ett heltal

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen för $t$ för att hitta de kritiska tidpunkterna.

Beräkning: $\frac{\pi}{12}t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 6$, $\frac{\pi}{12}t = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow t = 18$

Resultat: Kritiska punkter är $t = 6$ och $t = 18$

Steg 4

Beskrivning: Undersök temperaturens värde vid de kritiska punkterna och vid ändpunkterna av intervallet [0, 24].

Beräkning: $T(0) = 10$, $T(6) = 10 + 5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15$, $T(12) = 10 + 5\sin(\pi) = 10$, $T(18) = 10 + 5\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 5$, $T(24) = 10 + 5\sin(2\pi) = 10$

Resultat: Maximal temperatur är 15 grader Celsius vid $t = 6$ timmar

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

För att hitta extrema värden av en funktion används derivatan för att identifiera kritiska punkter där derivatan är noll eller inte definierad.

Läs mer →

Trigonometriska funktioner Grundläggande

Trigonometriska funktioner som sinus och cosinus används för att modellera periodiska fenomen, såsom temperaturvariationer över tid.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En biolog observerar att populationen av en viss art av fåglar i ett reservat kan beskrivas av funktionen $P(t) = 200 + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, där $t$ är tiden i månader. Bestäm den tidpunkt då populationen är som lägst och ange denna populationsstorlek.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm sedan populationsstorleken vid dessa punkter samt vid ändpunkterna av ett lämpligt intervall.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta extrema värden för en periodisk funktion som beskriver temperaturförändringar.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan av temperaturfunktionen, hitta kritiska punkter och jämför temperaturvärden vid dessa punkter och ändpunkterna.

Verifieringsmetod

Kontrollera att beräknade kritiska punkter och temperaturvärden stämmer överens med funktionens periodiska beteende.

Nyckelbegrepp

Derivata Trigonometriska funktioner Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.