D(t) har ett maximum vid t = 5.
← Tillbaka till Envariabelanalys
Envariabelanalys
En ekonom analyserar efterfrågan på en ny produkt över tid och vill bevisa att efterfrågefunktionen D(t) = 5e^(-0.2t) + 3t har ett maximum. Visa detta genom att använda derivata och kritiska punkter.
SVAR
STEG-FÖR-STEG LÖSNING
Steg 1
Beskrivning: Beräkna derivatan av efterfrågefunktionen D(t).
Beräkning: D'(t) = d/dt [5e^(-0.2t) + 3t] = -1e^(-0.2t) + 3
Resultat: D'(t) = -1e^(-0.2t) + 3
Steg 2
Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.
Beräkning: -1e^(-0.2t) + 3 = 0
Resultat: e^(-0.2t) = 3
Steg 3
Beskrivning: Lös ekvationen för t.
Beräkning: -0.2t = ln(3)
Resultat: t = -ln(3)/0.2
Steg 4
Beskrivning: Beräkna värdet av t.
Beräkning: t ≈ 5
Resultat: t ≈ 5
Steg 5
Beskrivning: Verifiera att detta är ett maximum genom att undersöka tecknet på D'(t) runt t = 5.
Beräkning: För t < 5, D'(t) > 0 och för t > 5, D'(t) < 0
Resultat: D(t) har ett maximum vid t = 5.
NÖDVÄNDIG KUNSKAP
Derivata
Grundläggande
Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter där lutningen är noll.
Läs mer →ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1 (Nivå A)
Fråga: Hitta maximum och minimum för funktionen f(x) = 4x^2 - 8x + 3.
Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima eller minima.
TANKESÄTT OCH STRATEGI
Första intryck
Identifiera funktionen vars maximum ska hittas och beräkna dess derivata.
Lösningsstrategi
Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd teckenanalys för att verifiera maximum.
Verifieringsmetod
Kontrollera tecknet på derivatan före och efter den kritiska punkten.
Nyckelbegrepp
Derivata
Kritiska punkter
Maximipunkt
Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag.
Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information.
Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.