Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen. Om temperaturen T(t) i grader Celsius vid tiden t timmar efter midnatt ges av funktionen T(t) = 5t^2 - 20t + 15, vad är den maximala temperaturen under dagen?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av temperaturfunktionen T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^2 - 20t + 15) = 10t - 20

Resultat: 10t - 20

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10t - 20 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Beräkna temperaturen vid t = 2 för att hitta den maximala temperaturen.

Beräkning: T(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 15 = 20 - 40 + 15

Resultat: 15

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion vid en given punkt och för att identifiera kritiska punkter där extrema värden kan förekomma.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 3x^2 - 12x + 20. Vad är den lägsta kostnaden?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm sedan kostnaden vid dessa punkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten v(t) = 4t^2 - 16t + 25. Vad är den maximala hastigheten?

Förklaring: Beräkna derivatan av hastighetsfunktionen för att hitta kritiska punkter och bestäm hastigheten vid dessa punkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 2t^2 - 8t + 10 i blodet. Vad är den maximala koncentrationen?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm koncentrationen vid dessa punkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringen och använd derivatan för att hitta extrema värden.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och utvärdera funktionen vid dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivatan och utvärderingen av funktionen vid kritiska punkter.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.