Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen med hjälp av funktionen T(t) = 5t^2 - 20t + 15, där T är temperaturen i grader Celsius och t är tiden i timmar från midnatt. Vid vilken tidpunkt under dagen är temperaturen som lägst?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^2 - 20t + 15) = 10t - 20

Resultat: 10t - 20

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10t - 20 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 2 ger ett minimum genom att undersöka andra derivatan.

Beräkning: T''(t) = d/dt (10t - 20) = 10

Resultat: 10

Steg 4

Beskrivning: Eftersom T''(t) = 10 > 0, är t = 2 en minimipunkt.

Beräkning: T''(2) = 10 > 0

Resultat: t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 3x^2 - 12x + 20 för att hitta den produktionsnivå som minimerar kostnaden. Vid vilken produktionsnivå är kostnaden som lägst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima genom att undersöka andra derivatan.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar rörelsen av en partikel med positionen s(t) = 4t^3 - 18t^2 + 24t. Vid vilken tidpunkt är partikelns hastighet noll?

Förklaring: Beräkna derivatan av s(t) för att få hastighetsfunktionen och sätt den lika med noll för att hitta tidpunkten.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet med funktionen C(t) = 10e^(-0.5t) - 2t. Vid vilken tidpunkt är koncentrationen som högst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima genom att undersöka andra derivatan.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringen och bestäm kritiska punkter genom att använda derivatan.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatan för att verifiera om det är ett minimum.

Verifieringsmetod

Kontrollera att andra derivatan är positiv vid den kritiska punkten för att bekräfta att det är ett minimum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.