Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen med hjälp av funktionen T(t) = 5t^3 - 3t^2 + 2t + 10, där T(t) är temperaturen i grader Celsius och t är tiden i timmar från midnatt. Bestäm den tidpunkt då temperaturen är som högst under intervallet 0 ≤ t ≤ 24.

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^3 - 3t^2 + 2t + 10) = 15t^2 - 6t + 2

Resultat: 15t^2 - 6t + 2

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 15t^2 - 6t + 2 = 0

Resultat: t = 0.2 eller t = 0.6667

Steg 3

Beskrivning: Undersök ändpunkterna och kritiska punkter för att hitta maximum.

Beräkning: T(0) = 10, T(0.2) = 10.392, T(0.6667) = 11.037, T(24) = 6910

Resultat: T(24) = 6910

Steg 4

Beskrivning: Temperaturen är som högst vid t = 24 timmar.

Beräkning: T(24) = 6910

Resultat: 16

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar vinstfunktionen V(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5 för att hitta maximala vinsten. Bestäm x-värdet där vinsten är som högst.

Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm maximala vinsten.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastighetsfunktionen v(t) = 4t^2 - 8t + 3 för en partikel och vill veta när hastigheten är som lägst. Bestäm tiden t.

Förklaring: Beräkna derivatan av hastighetsfunktionen och hitta kritiska punkter för att bestämma när hastigheten är som lägst.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t + 4 i blodet och vill veta när koncentrationen är som högst. Bestäm tiden t.

Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm när koncentrationen är som högst.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringar och bestäm intervallet för analys.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, hitta kritiska punkter och jämför värden vid dessa punkter och ändpunkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningar av derivatan och värden vid kritiska punkter och ändpunkter.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Maximera funktion

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.