Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En miljöforskare studerar hur mängden av en viss förorening i en sjö förändras över tid. Mängden förorening, i ton, vid tiden $t$ (i dagar) ges av funktionen $P(t) = 100e^{-0.05t}$. Bestäm den tidpunkt då mängden förorening har minskat till 10 ton.

SVAR

t \approx 46.05 \text{ dagar}

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ställ upp ekvationen för när mängden förorening är 10 ton.

Beräkning: 100e^{-0.05t} = 10

Resultat: 100e^{-0.05t} = 10

Steg 2

Beskrivning: Dela båda sidor av ekvationen med 100 för att isolera exponentialtermen.

Beräkning: e^{-0.05t} = \frac{10}{100}

Resultat: e^{-0.05t} = 0.1

Steg 3

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor för att lösa ut $t$.

Beräkning: \ln(e^{-0.05t}) = \ln(0.1)

Resultat: -0.05t = \ln(0.1)

Steg 4

Beskrivning: Lös ut $t$ genom att dela båda sidor med -0.05.

Beräkning: t = \frac{\ln(0.1)}{-0.05}

Resultat: t \approx 46.05

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur man hanterar exponentiella funktioner och deras inverser, logaritmer, är avgörande för att lösa ekvationen.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En läkare observerar att en medicins koncentration i blodet minskar enligt formeln $C(t) = 50e^{-0.1t}$. Bestäm tiden när koncentrationen är 5 mg/L.

Förklaring: Använd samma metod för att lösa ekvationen $50e^{-0.1t} = 5$.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentialekvation för att hitta när en viss mängd uppnås.

Lösningsstrategi

Isolera exponentialtermen och använd logaritmer för att lösa ut variabeln.

Verifieringsmetod

Kontrollera lösningen genom att sätta in $t$-värdet i den ursprungliga ekvationen och verifiera att mängden är nära 10 ton.

Nyckelbegrepp

Exponentialfunktioner Naturliga logaritmer

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.