Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En datavetare optimerar prestandan för en sökalgoritm genom att minimera tiden T(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5, där x är antalet parallella processer. Bestäm det optimala antalet processer x som minimerar tiden.

SVAR

1.5

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av T(x) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(x) = 6x^2 - 18x + 12

Resultat: 6x^2 - 18x + 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x^2 - 18x + 12 = 0

Resultat: 6x^2 - 18x + 12 = 0

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen för x.

Beräkning: x = [18 ± sqrt(18^2 - 4*6*12)] / (2*6)

Resultat: x = [18 ± sqrt(36)] / 12

Steg 4

Beskrivning: Förenkla lösningen.

Beräkning: x = [18 ± 6] / 12

Resultat: x = 2 eller x = 1.5

Steg 5

Beskrivning: Bestäm vilken av de kritiska punkterna som ger en minimipunkt genom att använda andraderivatan.

Beräkning: T''(x) = 12x - 18

Resultat: 12x - 18

Steg 6

Beskrivning: Beräkna T''(x) vid x = 1.5.

Beräkning: T''(1.5) = 12*1.5 - 18

Resultat: T''(1.5) = 0

Steg 7

Beskrivning: Eftersom T''(1.5) = 0, kontrollera teckenväxling av T'(x) runt x = 1.5.

Beräkning: T'(1) = 0, T'(2) = 0

Resultat: x = 1.5 är en minimipunkt

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Extremvärden identifieras genom att analysera derivatans nollställen och tecken.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 för att minimera kostnaderna. Bestäm det optimala värdet på x.

Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastighetsfunktionen v(t) = 3t^2 - 12t + 9 för att hitta när hastigheten är som lägst. Bestäm det optimala värdet på t.

Förklaring: Beräkna derivatan av v(t) och lös för kritiska punkter för att hitta minimipunkten.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = -2t^3 + 9t^2 - 12t + 20 i blodet för att maximera effekten. Bestäm det optimala värdet på t.

Förklaring: Använd derivata och andraderivata för att identifiera maximipunkten.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som ska optimeras och bestämma variabeln.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, hitta kritiska punkter, och använd andraderivatan för att bestämma om punkterna är minima eller maxima.

Verifieringsmetod

Kontrollera teckenväxling av derivatan runt kritiska punkter och använd andraderivatan.

Nyckelbegrepp

Derivata Extremvärden Kritiska punkter

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.