Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En miljöforskare studerar förändringen av en viss förorening i en sjö över tid. Koncentrationen av föroreningen (i mg/L) vid tidpunkten $t$ (i dagar) ges av funktionen $C(t) = 5e^{-0.1t} + 2$. Bestäm den tidpunkt då koncentrationen av föroreningen minskar till 3 mg/L.

SVAR

t \approx 10.986

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Sätt upp ekvationen för när koncentrationen är 3 mg/L.

Beräkning: 5e^{-0.1t} + 2 = 3

Resultat: 5e^{-0.1t} = 1

Steg 2

Beskrivning: Lös ekvationen för $e^{-0.1t}$.

Beräkning: e^{-0.1t} = \frac{1}{5}

Resultat: e^{-0.1t} = 0.2

Steg 3

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor för att lösa ut $t$.

Beräkning: -0.1t = \ln(0.2)

Resultat: t = -\frac{\ln(0.2)}{0.1}

Steg 4

Beskrivning: Beräkna värdet av $t$.

Beräkning: t = -\frac{-1.6094379}{0.1}

Resultat: t \approx 10.986

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur exponentiella funktioner och logaritmer fungerar är nödvändigt för att lösa ekvationer av denna typ.

Läs mer →

Derivata Grundläggande

Kunskap om derivata kan vara användbart för att förstå förändringshastigheten av koncentrationen över tid.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En annan förorening i samma sjö minskar enligt funktionen $D(t) = 10e^{-0.05t} + 1$. Bestäm när koncentrationen av denna förorening minskar till 2 mg/L.

Förklaring: Använd samma metod för att lösa ekvationen $10e^{-0.05t} + 1 = 2$.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentiell ekvation för att hitta när en viss koncentration uppnås.

Lösningsstrategi

Sätt upp ekvationen, isolera den exponentiella delen, använd logaritmer för att lösa för variabeln.

Verifieringsmetod

Kontrollera svaret genom att sätta in det tillbaka i den ursprungliga funktionen för att se om det ger rätt koncentration.

Nyckelbegrepp

Exponentiella funktioner Naturliga logaritmer Ekvationslösning

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.