Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En sportfysiolog mäter en idrottares syreupptag under träning. Syreupptaget, V(t), i liter per minut, kan beskrivas av funktionen V(t) = 5 + 3e^{-0.1t}, där t är tiden i minuter. Bestäm den tidpunkt då syreupptaget är 6 liter per minut.

SVAR

t ≈ 3.47 minuter

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ställ upp ekvationen för syreupptaget.

Beräkning: V(t) = 5 + 3e^{-0.1t}

Resultat: V(t) = 5 + 3e^{-0.1t}

Steg 2

Beskrivning: Sätt V(t) lika med 6 och lös ekvationen.

Beräkning: 6 = 5 + 3e^{-0.1t}

Resultat: 1 = 3e^{-0.1t}

Steg 3

Beskrivning: Isolera e^{-0.1t}.

Beräkning: e^{-0.1t} = 1/3

Resultat: e^{-0.1t} = 1/3

Steg 4

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor.

Beräkning: -0.1t = ln(1/3)

Resultat: -0.1t = ln(1/3)

Steg 5

Beskrivning: Lös ut t.

Beräkning: t = -ln(1/3) / 0.1

Resultat: t ≈ 3.47

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur man löser exponentiella ekvationer med logaritmer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar en investerings tillväxt som beskrivs av funktionen I(t) = 1000e^{0.05t}. Bestäm tiden det tar för investeringen att nå 1500 enheter.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentiella ekvationer.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar radioaktivt sönderfall där mängden av ett ämne beskrivs av M(t) = 50e^{-0.02t}. Bestäm tiden det tar för ämnet att minska till 30 enheter.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentiella ekvationer.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentration i blodet som ges av C(t) = 20e^{-0.3t}. Bestäm tiden det tar för koncentrationen att sjunka till 5 enheter.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentiella ekvationer.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentiell ekvation.

Lösningsstrategi

Använd logaritmer för att lösa exponentiella ekvationer och isolera variabeln.

Verifieringsmetod

Kontrollera lösningen genom att sätta in värdet av t tillbaka i den ursprungliga ekvationen.

Nyckelbegrepp

Exponentiella funktioner Naturliga logaritmer Ekvationslösning

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.