Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En kemist beräknar reaktionshastigheten för en kemisk process. Reaktionshastigheten R(t) ges av funktionen R(t) = 3t^2 - 12t + 9. Vid vilken tidpunkt t är reaktionshastigheten som störst?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av R(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: R'(t) = d/dt (3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12

Resultat: 6t - 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6t - 12 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 2 ger ett maximum genom att undersöka tecknet på derivatan före och efter t = 2.

Beräkning: För t < 2, R'(t) < 0; för t > 2, R'(t) > 0

Resultat: t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att bestämma lutningen av en funktion och hitta kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 5x^2 - 20x + 15. Vid vilken produktionsnivå x är kostnaden som lägst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten v(t) = 4t^3 - 18t^2 + 24t för en partikel. Vid vilken tidpunkt t är hastigheten som störst?

Förklaring: Beräkna derivatan av v(t) och hitta kritiska punkter för att bestämma när hastigheten är som störst.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t i blodet. Vid vilken tidpunkt t är koncentrationen som högst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima eller minima.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver reaktionshastigheten och bestäm dess derivata.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och verifiera om dessa punkter är maxima eller minima.

Verifieringsmetod

Kontrollera tecknet på derivatan före och efter de kritiska punkterna för att bekräfta om det är ett maximum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Maxima och minima

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.