Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En läkemedelsforskare studerar koncentrationen av ett nytt antibiotikum i blodet. Koncentrationen C(t) i mg/L efter t timmar ges av funktionen C(t) = 50e^{-0.3t}. Vid vilken tidpunkt är koncentrationen 10 mg/L?

SVAR

7.67

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ställ upp ekvationen för att hitta när koncentrationen är 10 mg/L.

Beräkning: 50e^{-0.3t} = 10

Resultat: 50e^{-0.3t} = 10

Steg 2

Beskrivning: Dela båda sidor av ekvationen med 50 för att isolera exponentialtermen.

Beräkning: e^{-0.3t} = 0.2

Resultat: e^{-0.3t} = 0.2

Steg 3

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor för att lösa ut t.

Beräkning: -0.3t = ln(0.2)

Resultat: -0.3t = ln(0.2)

Steg 4

Beskrivning: Lös ut t genom att dela båda sidor med -0.3.

Beräkning: t = ln(0.2) / -0.3

Resultat: t = 7.67

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur man löser exponentialekvationer med hjälp av logaritmer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar avkastningen på en investering som växer exponentiellt enligt R(t) = 1000e^{0.05t}. När kommer avkastningen att vara 2000?

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentialekvationen och hitta tiden t.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar sönderfallet av ett radioaktivt ämne där mängden kvarvarande ämne ges av A(t) = 80e^{-0.1t}. Vid vilken tidpunkt är mängden 20?

Förklaring: Lös exponentialekvationen för att bestämma tiden t när mängden är 20.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar hur länge en medicin håller sig effektiv i kroppen. Koncentrationen ges av M(t) = 30e^{-0.2t}. När är koncentrationen 5?

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa ekvationen och bestämma tiden t.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentialekvation för att hitta tiden.

Lösningsstrategi

Isolera exponentialtermen, använd logaritmer för att lösa ut variabeln t.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att sätta in det funna värdet av t tillbaka i ursprungsekvationen.

Nyckelbegrepp

Exponentialfunktioner Naturliga logaritmer Ekvationslösning

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.