Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En ekonom analyserar efterfrågan på en ny produkt över tid. Efterfrågan, D(t), modelleras av funktionen D(t) = 100e^{-0.05t} + 20t, där t är tiden i månader. Bestäm när efterfrågan är som störst under de första 24 månaderna.

SVAR

Efterfrågan är som störst vid t = 20 månader.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av D(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: D'(t) = d/dt [100e^{-0.05t} + 20t] = -5e^{-0.05t} + 20

Resultat: D'(t) = -5e^{-0.05t} + 20

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: -5e^{-0.05t} + 20 = 0

Resultat: e^{-0.05t} = 4

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen för t.

Beräkning: -0.05t = ln(4) => t = -ln(4)/0.05

Resultat: t ≈ 27.7259

Steg 4

Beskrivning: Eftersom t = 27.7259 är utanför intervallet [0, 24], undersök ändpunkterna.

Beräkning: D(0) = 100e^0 + 20*0 = 100; D(24) = 100e^{-1.2} + 480

Resultat: D(0) = 100; D(24) ≈ 480 + 30.12 ≈ 510.12

Steg 5

Beskrivning: Jämför värdena vid t = 0, t = 24 och när derivatan är noll inom intervallet.

Beräkning: D(20) = 100e^{-1} + 400 ≈ 36.79 + 400 = 436.79

Resultat: Efterfrågan är som störst vid t = 20 månader.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll, vilket kan indikera extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar efterfrågan på en produkt modellerad av D(t) = 50e^{-0.1t} + 10t. Bestäm när efterfrågan är som störst under de första 12 månaderna.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och jämför med ändpunkterna i intervallet [0, 12].

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver efterfrågan och bestäm intervallet för analys.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, hitta kritiska punkter och jämför med ändpunkterna i det givna intervallet.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningar och jämför värden vid kritiska punkter och ändpunkter.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.