Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen med hjälp av funktionen T(t) = 5t^2 - 3t + 2, där T(t) är temperaturen i grader Celsius vid tiden t timmar efter midnatt. Vid vilken tidpunkt under dagen är temperaturen som högst?

SVAR

t = 0.3

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^2 - 3t + 2) = 10t - 3

Resultat: 10t - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10t - 3 = 0

Resultat: t = 0.3

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 0.3 ger ett maximum genom att undersöka tecknet på derivatan före och efter denna punkt.

Beräkning: För t < 0.3, T'(t) < 0 och för t > 0.3, T'(t) > 0

Resultat: t = 0.3

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 2x^2 - 4x + 6 för att hitta den produktionsnivå som minimerar kostnaden. Vid vilken produktionsnivå är kostnaden som lägst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten v(t) = 3t^2 - 12t + 9 för en partikel och vill veta när hastigheten är som lägst. Vid vilken tidpunkt är hastigheten minimal?

Förklaring: Beräkna derivatan av hastighetsfunktionen och hitta kritiska punkter för att bestämma minima.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 4t^2 - 8t + 5 i blodet och vill veta när koncentrationen är som högst. Vid vilken tidpunkt är koncentrationen maximal?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och analysera om de är maxima eller minima.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringen och bestämma dess kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan av funktionen, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och verifiera om dessa punkter är maxima eller minima.

Verifieringsmetod

Analysera tecknet på derivatan före och efter den kritiska punkten för att säkerställa att det är ett maximum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Maxima och minima

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.