Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En kemist beräknar reaktionshastigheten för en kemisk process där hastigheten v(t) ges av funktionen v(t) = 3t^2 - 12t + 9. Vid vilken tidpunkt t är reaktionshastigheten som störst?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av hastighetsfunktionen v(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: v'(t) = d/dt (3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12

Resultat: 6t - 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6t - 12 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 2 ger ett maximum genom att undersöka tecknet på derivatan före och efter t = 2.

Beräkning: För t < 2, v'(t) < 0 och för t > 2, v'(t) > 0

Resultat: t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att bestämma hastighetsförändringar och hitta extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar vinstfunktionen P(x) = -2x^2 + 8x + 5. Vid vilken produktionsnivå x maximeras vinsten?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maximipunkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar rörelseekvationen s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. Vid vilken tidpunkt t är hastigheten som störst?

Förklaring: Beräkna derivatan av s(t) för att få hastighetsfunktionen och hitta dess maximipunkt.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 4t - t^2 i blodet. Vid vilken tidpunkt t är koncentrationen som högst?

Förklaring: Använd derivatan av C(t) för att hitta när koncentrationen är maximal.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att maximera en funktion över tid.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och verifiera maximipunkt.

Verifieringsmetod

Analysera tecknet på derivatan före och efter den kritiska punkten.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Maximipunkt

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.