Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En fysiker analyserar rörelsen av en partikel i ett magnetfält. Partikelns position som funktion av tiden ges av x(t) = 3t^2 - 4t + 5. Bestäm partikelns hastighet vid tiden t = 2.

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm hastighetsfunktionen genom att derivera positionsfunktionen x(t).

Beräkning: v(t) = d/dt [3t^2 - 4t + 5]

Resultat: v(t) = 6t - 4

Steg 2

Beskrivning: Beräkna hastigheten vid tiden t = 2.

Beräkning: v(2) = 6(2) - 4

Resultat: v(2) = 12 - 4

Steg 3

Beskrivning: Förenkla uttrycket för att få den slutliga hastigheten.

Beräkning: v(2) = 8

Resultat: 8

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan av en funktion beskriver hastigheten av förändring av funktionen med avseende på dess variabel.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringen i en akties pris över tid. Prisfunktionen ges av P(t) = 5t^3 - 2t^2 + 3. Bestäm prisets förändringshastighet vid t = 1.

Förklaring: Derivera prisfunktionen för att få förändringshastigheten och beräkna vid t = 1.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar en projektils rörelse. Projektilens höjd ges av h(t) = -4.9t^2 + 20t + 1. Bestäm projektilens hastighet vid t = 3.

Förklaring: Derivera höjdfunktionen för att få hastighetsfunktionen och beräkna vid t = 3.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar koncentrationen av ett läkemedel i blodet över tid. Koncentrationen ges av C(t) = 10e^(-0.5t). Bestäm hastigheten av koncentrationsförändringen vid t = 2.

Förklaring: Derivera koncentrationsfunktionen för att få förändringshastigheten och beräkna vid t = 2.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet kräver att vi bestämmer hastigheten, vilket är derivatan av positionsfunktionen.

Lösningsstrategi

Derivera positionsfunktionen för att få hastighetsfunktionen och beräkna sedan hastigheten vid den givna tiden.

Verifieringsmetod

Kontrollera att derivatan är korrekt beräknad och att den numeriska beräkningen vid t = 2 är korrekt.

Nyckelbegrepp

Derivata Hastighet Tidsberoende funktioner

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.