Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En läkemedelsforskare studerar koncentrationen av ett nytt antibiotikum i blodet. Koncentrationen C(t) av antibiotikumet i blodet ges av funktionen C(t) = 50e^(-0.2t), där t är tiden i timmar efter administrering. Bestäm tiden t när koncentrationen är 10 mg/L.

SVAR

11.51

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ställ upp ekvationen för att hitta tiden t när koncentrationen är 10 mg/L.

Beräkning: 50e^(-0.2t) = 10

Resultat: 50e^(-0.2t) = 10

Steg 2

Beskrivning: Dela båda sidor av ekvationen med 50 för att isolera exponentialtermen.

Beräkning: e^(-0.2t) = 10/50

Resultat: e^(-0.2t) = 0.2

Steg 3

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor för att lösa ut t.

Beräkning: ln(e^(-0.2t)) = ln(0.2)

Resultat: -0.2t = ln(0.2)

Steg 4

Beskrivning: Lös ut t genom att dela båda sidor med -0.2.

Beräkning: t = ln(0.2) / -0.2

Resultat: t = 11.51

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur man löser exponentialekvationer med hjälp av logaritmer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar avkastningen på en investering som växer enligt funktionen R(t) = 1000e^(0.05t). Bestäm tiden t när avkastningen är 2000.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentialekvationen och hitta tiden t.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar sönderfallet av ett radioaktivt ämne med halveringstiden 5 år. Om mängden av ämnet ges av M(t) = M_0e^(-0.1386t), bestäm tiden t när mängden är halverad.

Förklaring: Använd halveringstiden och logaritmer för att lösa för t.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar tiden det tar för en medicin att nå en säker koncentration i kroppen. Om koncentrationen ges av C(t) = 80e^(-0.3t), bestäm tiden t när koncentrationen är 5 mg/L.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentialekvationen och hitta tiden t.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentialekvation för att hitta tiden t.

Lösningsstrategi

Isolera exponentialtermen, använd logaritmer för att lösa ut variabeln t.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att sätta in det funna värdet av t tillbaka i den ursprungliga ekvationen.

Nyckelbegrepp

Exponentialfunktioner Naturliga logaritmer Lösning av ekvationer

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.