Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En ekonom analyserar efterfrågan på en ny produkt över tid. Efterfrågan D(t) ges av funktionen D(t) = 100e^{-0.05t} + 20t, där t är tiden i månader. Bestäm vid vilken tidpunkt efterfrågan är som störst.

SVAR

t = 20

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av efterfrågefunktionen D(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: D'(t) = d/dt [100e^{-0.05t} + 20t] = -5e^{-0.05t} + 20

Resultat: -5e^{-0.05t} + 20

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: -5e^{-0.05t} + 20 = 0

Resultat: e^{-0.05t} = 4

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen för t.

Beräkning: -0.05t = ln(4) => t = -ln(4)/0.05

Resultat: t ≈ 20

Steg 4

Beskrivning: Verifiera att detta är en maximal punkt genom att undersöka tecknet på D'(t) runt t = 20.

Beräkning: För t < 20, D'(t) > 0 och för t > 20, D'(t) < 0

Resultat: t = 20

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att bestämma förändringshastigheten av en funktion och för att hitta extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar priselasticiteten för en produkt. Elasticiteten E(p) ges av E(p) = 2p^2 - 5p + 3. Bestäm vid vilket pris p elasticiteten är noll.

Förklaring: Lös ekvationen E(p) = 0 för att hitta priset där elasticiteten är noll.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar avståndet s(t) som en partikel rör sig över tid, givet av s(t) = 4t^3 - 12t^2 + 9t. Bestäm när partikelns hastighet är noll.

Förklaring: Beräkna derivatan s'(t) för att hitta hastigheten och sätt den lika med noll för att lösa för t.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) i blodet, givet av C(t) = 50e^{-0.1t} - 3t. Bestäm när koncentrationen är som högst.

Förklaring: Använd derivatan C'(t) för att hitta kritiska punkter och bestäm maximal koncentration.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver efterfrågan och bestäm dess derivata för att hitta extremvärden.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll, lös för t och verifiera att det är en maximal punkt.

Verifieringsmetod

Kontrollera tecknet på derivatan före och efter den kritiska punkten.

Nyckelbegrepp

Derivata Extremvärden Exponentiella funktioner

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.