Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En kemist beräknar reaktionshastigheten för en kemisk process. Reaktionshastigheten R(t) ges av funktionen R(t) = 3t^2 - 12t + 9. Vid vilken tidpunkt t är reaktionshastigheten som lägst?

SVAR

t = 2

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av R(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: R'(t) = d/dt (3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12

Resultat: R'(t) = 6t - 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6t - 12 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 2 ger ett minimum genom att använda andraderivatan.

Beräkning: R''(t) = d/dt (6t - 12) = 6

Resultat: R''(t) = 6

Steg 4

Beskrivning: Eftersom R''(t) > 0, är t = 2 en minimipunkt.

Beräkning: R''(2) = 6 > 0

Resultat: t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 4x^2 - 16x + 25. Vid vilken produktionsnivå x är kostnaden som lägst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten v(t) = 5t^3 - 15t^2 + 10t. Vid vilken tidpunkt t är hastigheten som lägst?

Förklaring: Beräkna derivatan för att hitta kritiska punkter och använd andraderivatan för att verifiera om det är ett minimum.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t. Vid vilken tidpunkt t är koncentrationen som högst?

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima eller minima.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver reaktionshastigheten och bestäm dess kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd andraderivatan för att verifiera om det är ett minimum.

Verifieringsmetod

Kontrollera att andraderivatan är positiv vid den kritiska punkten för att bekräfta ett minimum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Andraderivata

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.