Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En sportfysiolog mäter en idrottares syreupptag under träning och vill bevisa att syreupptaget, som en funktion av tiden, når ett maximum vid en viss tidpunkt. Anta att syreupptaget ges av funktionen V(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t + 10, där t är tiden i minuter. Bevisa att det finns ett maximum och bestäm vid vilken tidpunkt detta inträffar.

SVAR

t = 2

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av V(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: V'(t) = d/dt (-t^3 + 6t^2 + 15t + 10) = -3t^2 + 12t + 15

Resultat: -3t^2 + 12t + 15

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: -3t^2 + 12t + 15 = 0

Resultat: t = -1, t = 5

Steg 3

Beskrivning: Undersök andra derivatan för att bestämma om dessa punkter är maxima eller minima.

Beräkning: V''(t) = d/dt (-3t^2 + 12t + 15) = -6t + 12

Resultat: -6t + 12

Steg 4

Beskrivning: Beräkna V''(t) vid t = 2.

Beräkning: V''(2) = -6(2) + 12 = 0

Resultat: 0

Steg 5

Beskrivning: Eftersom V''(t) = 0 vid t = 2, använd första derivatans teckenförändring för att bekräfta maximum.

Beräkning: V'(t) ändrar tecken från positiv till negativ vid t = 2

Resultat: t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Förståelse av hur man beräknar och använder derivatan för att hitta kritiska punkter.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Förståelse av hur man använder derivator för att bestämma extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar en företags vinstfunktion P(x) = -2x^2 + 8x + 5. Bestäm vid vilken produktionsnivå x vinsten är maximal.

Förklaring: Beräkna derivatan av P(x), sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatan för att bekräfta maximum.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar en partikels rörelse längs en linje, beskriven av positionen s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1. Bestäm när partikeln har maximal hastighet.

Förklaring: Beräkna derivatan av s(t) för att få hastigheten, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatan för att bekräfta maximum.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet över tid med funktionen C(t) = -0.5t^2 + 4t + 3. Bestäm när koncentrationen är som högst.

Förklaring: Beräkna derivatan av C(t), sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatan för att bekräfta maximum.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver syreupptaget och bestäm dess kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och andra derivatan för att bestämma om dessa punkter är maxima.

Verifieringsmetod

Kontrollera teckenförändringen av första derivatan och bekräfta med andra derivatan.

Nyckelbegrepp

Derivata Extremvärden Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.