Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En miljöforskare studerar förändringen av en sjös vattennivå över tid för att förstå effekterna av klimatförändringar. Vattennivån, mätt i meter, kan beskrivas av funktionen \( N(t) = 5 + 3t - 0.5t^2 \), där \( t \) är tiden i månader sedan studien började. Bestäm när vattennivån är som högst under det första året.

SVAR

Vattennivån är som högst efter 3 månader.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av funktionen \( N(t) \) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: \( N'(t) = 3 - t \)

Resultat: 3 - t

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: \( 3 - t = 0 \)

Resultat: t = 3

Steg 3

Beskrivning: Kontrollera om \( t = 3 \) är ett maximum genom att använda andra derivatans test.

Beräkning: \( N''(t) = -1 \)

Resultat: -1

Steg 4

Beskrivning: Eftersom \( N''(t) < 0 \), är \( t = 3 \) en lokal maximipunkt.

Beräkning:

Resultat: Vattennivån är som högst efter 3 månader.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Extremvärden kan hittas genom att analysera derivatan och använda andra derivatans test.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom studerar en företags vinstfunktion \( V(x) = 100x - 2x^2 \). Bestäm antalet produkter \( x \) som maximerar vinsten.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maximipunkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta maximipunkten för en kvadratisk funktion.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, hitta kritiska punkter och använd andra derivatans test för att avgöra om det är ett maximum.

Verifieringsmetod

Kontrollera att andra derivatan är negativ vid den kritiska punkten för att bekräfta ett maximum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.