Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen med hjälp av funktionen T(t) = 5t^3 - 3t^2 + 2t + 10, där T är temperaturen i grader Celsius och t är tiden i timmar från midnatt. Bestäm den tidpunkt då temperaturen är som högst under intervallet 0 ≤ t ≤ 24.

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = 15t^2 - 6t + 2

Resultat: 15t^2 - 6t + 2

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 15t^2 - 6t + 2 = 0

Resultat: t = 0.2, t = 0.6667

Steg 3

Beskrivning: Utvärdera T(t) vid kritiska punkter och intervallets ändpunkter.

Beräkning: T(0) = 10, T(0.2) = 9.992, T(0.6667) = 10.296, T(24) = 69130

Resultat: T(24) = 69130

Steg 4

Beskrivning: Jämför värdena för att hitta maximum.

Beräkning: Max värde är T(24) = 69130

Resultat: 24

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll, vilket kan indikera extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar vinstfunktionen V(x) = -2x^2 + 4x + 100, där V är vinsten i tusen kronor och x är antalet producerade enheter. Bestäm det antal enheter som maximerar vinsten.

Förklaring: Beräkna derivatan av V(x), sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och utvärdera vid dessa punkter samt intervallets ändpunkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar partikelns position s(t) = 3t^4 - 8t^3 + 6t^2 + 5, där s är positionen i meter och t är tiden i sekunder. Bestäm den tidpunkt då partikelns hastighet är som högst inom intervallet 0 ≤ t ≤ 5.

Förklaring: Beräkna derivatan av s(t) för att få hastighetsfunktionen, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och utvärdera vid dessa punkter samt intervallets ändpunkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = 10e^(-0.5t) + 2t, där C är koncentrationen i mg/L och t är tiden i timmar. Bestäm den tidpunkt då koncentrationen är som högst.

Förklaring: Beräkna derivatan av C(t), sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och utvärdera vid dessa punkter samt intervallets ändpunkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta extremvärden för en funktion inom ett givet intervall.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, hitta kritiska punkter, utvärdera funktionen vid dessa punkter och intervallets ändpunkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningar genom att jämföra värdena vid kritiska punkter och ändpunkter för att säkerställa att maximum hittas.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.