Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En läkemedelsforskare studerar koncentrationen C(t) av ett nytt antibiotikum i blodet över tid t (i timmar). Koncentrationen ges av funktionen C(t) = 5e^{-0.3t}. Bestäm tiden t när koncentrationen är 2 mg/L.

SVAR

t ≈ 2.42 timmar

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ställ upp ekvationen för att hitta tiden t när koncentrationen är 2 mg/L.

Beräkning: 5e^{-0.3t} = 2

Resultat: 5e^{-0.3t} = 2

Steg 2

Beskrivning: Dela båda sidor av ekvationen med 5 för att isolera exponentialtermen.

Beräkning: e^{-0.3t} = 2/5

Resultat: e^{-0.3t} = 0.4

Steg 3

Beskrivning: Ta den naturliga logaritmen på båda sidor för att lösa ut t.

Beräkning: ln(e^{-0.3t}) = ln(0.4)

Resultat: -0.3t = ln(0.4)

Steg 4

Beskrivning: Lös ut t genom att dela båda sidor med -0.3.

Beräkning: t = ln(0.4) / -0.3

Resultat: t ≈ 2.42

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Förståelse för hur man löser exponentialekvationer med logaritmer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar avkastningen R(t) av en investering över tid t, där R(t) = 100e^{0.05t}. Bestäm tiden t när avkastningen är 150.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa exponentialekvationen.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar temperaturförändringen T(t) i en experimentell process, där T(t) = 20e^{-0.1t}. Bestäm tiden t när temperaturen är 10 grader.

Förklaring: Lös exponentialekvationen genom att använda naturliga logaritmer.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen L(t) i en patient, där L(t) = 8e^{-0.2t}. Bestäm tiden t när koncentrationen är 3 mg/L.

Förklaring: Använd logaritmer för att lösa ekvationen och bestäm tiden.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att lösa en exponentialekvation för att bestämma tiden.

Lösningsstrategi

Isolera exponentialtermen, använd logaritmer för att lösa ut variabeln.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att sätta in det funna värdet av t tillbaka i den ursprungliga ekvationen.

Nyckelbegrepp

Exponentialfunktioner Naturliga logaritmer Ekvationslösning

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.