Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En kemist beräknar reaktionshastigheten för en kemisk process där koncentrationen av en reaktant minskar över tid enligt funktionen C(t) = 5e^{-0.3t}, där C är koncentrationen i mol/L och t är tiden i minuter. Bestäm reaktionshastigheten vid t = 10 minuter.

SVAR

-0.746 mol/L/min

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera funktionen för koncentrationen C(t) = 5e^{-0.3t}.

Beräkning: C(t) = 5e^{-0.3t}

Resultat: C(t) = 5e^{-0.3t}

Steg 2

Beskrivning: Beräkna derivatan av C(t) för att få reaktionshastigheten.

Beräkning: C'(t) = d/dt [5e^{-0.3t}] = -1.5e^{-0.3t}

Resultat: C'(t) = -1.5e^{-0.3t}

Steg 3

Beskrivning: Sätt in t = 10 i derivatan för att bestämma reaktionshastigheten vid denna tidpunkt.

Beräkning: C'(10) = -1.5e^{-0.3*10} = -1.5e^{-3} ≈ -0.746

Resultat: -0.746 mol/L/min

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan av en funktion beskriver förändringshastigheten av funktionen med avseende på en variabel.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringen i aktiekursen för ett företag som beskrivs av funktionen P(t) = 100e^{0.05t}. Bestäm förändringshastigheten vid t = 5 år.

Förklaring: Beräkna derivatan av P(t) och sätt in t = 5 för att få förändringshastigheten.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar temperaturförändringen i en metallbit som kyls ner enligt T(t) = 300e^{-0.1t}. Bestäm hastigheten av temperaturförändringen vid t = 20 minuter.

Förklaring: Derivatan av T(t) ger hastigheten av temperaturförändringen. Sätt in t = 20 för att få svaret.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar hur snabbt en medicin bryts ner i kroppen, där koncentrationen ges av M(t) = 50e^{-0.2t}. Bestäm nedbrytningshastigheten vid t = 15 timmar.

Förklaring: Använd derivatan av M(t) för att bestämma nedbrytningshastigheten vid t = 15.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver koncentrationen och bestäm vilken matematisk operation som behövs för att hitta reaktionshastigheten.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan av koncentrationsfunktionen och sätt in den givna tiden för att få reaktionshastigheten.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivatan och insättning av värden för att säkerställa korrekthet.

Nyckelbegrepp

Derivata Exponentiella funktioner

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.