Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen och använder en funktion T(t) = 5t^2 - 3t + 2 för att modellera temperaturen i grader Celsius vid tiden t timmar efter midnatt. Bevisa att temperaturen har en kritisk punkt vid t = 0.3 timmar.

SVAR

0.3

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^2 - 3t + 2) = 10t - 3

Resultat: 10t - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10t - 3 = 0

Resultat: t = 0.3

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att t = 0.3 är en kritisk punkt genom att kontrollera teckenförändringen av derivatan.

Beräkning: För t < 0.3, T'(t) < 0 och för t > 0.3, T'(t) > 0

Resultat: 0.3

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och identifiera kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 4x^2 - 8x + 5 för att hitta minimikostnaden. Bestäm vid vilket x värde kostnaden är minimal.

Förklaring: Beräkna derivatan C'(x) och sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar rörelsen av en partikel med positionen s(t) = 3t^3 - 6t^2 + 2t. Bestäm vid vilken tidpunkt partikelns hastighet är noll.

Förklaring: Beräkna derivatan s'(t) för att hitta hastigheten och sätt den lika med noll för att hitta tidpunkten.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet med funktionen C(t) = 7e^(-0.5t) - 2t. Bestäm när koncentrationen är som högst.

Förklaring: Beräkna derivatan C'(t) och sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturen och bestämma dess kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och verifiera dem genom teckenförändring.

Verifieringsmetod

Kontrollera teckenförändringen av derivatan runt den kritiska punkten.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Teckenförändring

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.