Uppgift 1 - Envariabelanalys (Medel nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen med hjälp av funktionen T(t) = 5t^2 - 20t + 15, där T(t) är temperaturen i grader Celsius och t är tiden i timmar från midnatt. Bestäm den tidpunkt på dagen då temperaturen är som lägst.

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera funktionen för temperaturförändringar.

Beräkning: T(t) = 5t^2 - 20t + 15

Resultat: Funktion identifierad

Steg 2

Beskrivning: Beräkna derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^2 - 20t + 15) = 10t - 20

Resultat: T'(t) = 10t - 20

Steg 3

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10t - 20 = 0

Resultat: t = 2

Steg 4

Beskrivning: Verifiera att t = 2 ger ett minimum genom att undersöka andra derivatan.

Beräkning: T''(t) = d/dt (10t - 20) = 10

Resultat: T''(t) = 10 > 0, vilket indikerar ett lokalt minimum

Steg 5

Beskrivning: Bekräfta att temperaturen är som lägst vid t = 2.

Beräkning: T(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 15 = 20 - 40 + 15 = -5

Resultat: Temperaturen är som lägst vid t = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll, vilket kan indikera extremvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 3x^2 - 12x + 7 för att hitta den produktionsnivå som minimerar kostnaden.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastighetsfunktionen v(t) = 4t^2 - 16t + 9 för att bestämma när hastigheten är som lägst.

Förklaring: Beräkna derivatan av hastighetsfunktionen och hitta kritiska punkter för att bestämma när hastigheten är som lägst.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet med funktionen C(t) = -2t^2 + 8t + 5 och vill veta när koncentrationen är som högst.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima eller minima.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringar och bestäm vilken typ av extremvärde som efterfrågas.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatan för att verifiera om det är ett minimum.

Verifieringsmetod

Kontrollera att andra derivatan är positiv vid den kritiska punkten för att bekräfta ett minimum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.