Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En kemist beräknar reaktionshastigheten för en kemisk process och vill bevisa att hastigheten v(t) = 3t^2 - 12t + 9 har ett minimum vid t = 2. Bevisa detta genom att använda derivata och andra derivatans test.

SVAR

v(2) = 1

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna den första derivatan av v(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: v'(t) = d/dt (3t^2 - 12t + 9) = 6t - 12

Resultat: v'(t) = 6t - 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt den första derivatan till noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6t - 12 = 0

Resultat: t = 2

Steg 3

Beskrivning: Beräkna den andra derivatan för att använda andra derivatans test.

Beräkning: v''(t) = d/dt (6t - 12) = 6

Resultat: v''(t) = 6

Steg 4

Beskrivning: Använd andra derivatans test för att avgöra om det är ett minimum.

Beräkning: Eftersom v''(2) = 6 > 0, har v(t) ett lokalt minimum vid t = 2.

Resultat: Minimum vid t = 2

Steg 5

Beskrivning: Beräkna värdet av v(t) vid t = 2 för att hitta minimivärdet.

Beräkning: v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9

Resultat: v(2) = 1

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Förståelse av hur man beräknar och använder derivator för att hitta och klassificera kritiska punkter.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Hitta och klassificera kritiska punkter för funktionen f(x) = x^3 - 3x^2 + 4.

Förklaring: Använd första och andra derivatan för att hitta och klassificera kritiska punkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen vars extremvärden ska hittas och använd derivata för att hitta kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Beräkna första och andra derivatan, hitta kritiska punkter och använd andra derivatans test för att klassificera dem.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivator och använd andra derivatans test korrekt.

Nyckelbegrepp

Första derivatan Andra derivatan Kritiska punkter Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.