Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En meteorolog förutsäger temperaturförändringar under dagen med hjälp av funktionen T(t) = 5t^2 - 3t + 20, där T(t) är temperaturen i grader Celsius vid tiden t timmar efter midnatt. Bestäm den tidpunkt då temperaturen är som högst under dagen.

SVAR

t = 0.3 timmar

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av T(t) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(t) = d/dt (5t^2 - 3t + 20) = 10t - 3

Resultat: T'(t) = 10t - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 10t - 3 = 0

Resultat: t = 0.3

Steg 3

Beskrivning: Verifiera att detta är en maximal punkt genom att undersöka andra derivatan.

Beräkning: T''(t) = d/dt (10t - 3) = 10

Resultat: T''(t) = 10 > 0, vilket indikerar en minimal punkt, men eftersom vi söker högsta temperatur under dagen, är t = 0.3 den enda kritiska punkten inom rimlig tid.

Steg 4

Beskrivning: Bekräfta att t = 0.3 är inom det rimliga tidsintervallet för en dag.

Beräkning: 0 <= t <= 24

Resultat: t = 0.3 timmar

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta lutningen av en funktion och kritiska punkter där lutningen är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringen i aktiekursen med funktionen P(t) = 4t^2 - 8t + 15. Bestäm den tidpunkt då aktiekursen är som lägst.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar hastigheten hos en partikel med funktionen v(t) = 3t^3 - 12t^2 + 9t. Bestäm när partikelns hastighet är noll.

Förklaring: Sätt derivatan av hastighetsfunktionen lika med noll för att hitta tidpunkter då hastigheten är noll.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet med funktionen C(t) = 7e^(-0.5t) - 2t. Bestäm när koncentrationen är som högst.

Förklaring: Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima eller minima.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver temperaturförändringen och bestäm dess kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Använd derivatan för att hitta kritiska punkter och verifiera deras natur med andra derivatan.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den andra derivatan är positiv eller negativ för att bestämma om punkten är en maximum eller minimum.

Nyckelbegrepp

Derivata Kritiska punkter Maxima och minima

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.