Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En datavetare optimerar prestandan för en sökalgoritm genom att minimera tiden T(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5, där x är antalet parallella processer som används. Bestäm det optimala antalet processer x som minimerar tiden.

SVAR

1.5

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av T(x) för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: T'(x) = d/dx (2x^3 - 9x^2 + 12x + 5) = 6x^2 - 18x + 12

Resultat: 6x^2 - 18x + 12

Steg 2

Beskrivning: Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x^2 - 18x + 12 = 0

Resultat: 6x^2 - 18x + 12 = 0

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen 6x^2 - 18x + 12 = 0.

Beräkning: x = [18 ± sqrt((-18)^2 - 4*6*12)] / (2*6)

Resultat: x = [18 ± sqrt(36)] / 12

Steg 4

Beskrivning: Förenkla lösningen.

Beräkning: x = [18 ± 6] / 12

Resultat: x = 2 eller x = 1.5

Steg 5

Beskrivning: Bestäm vilken av de kritiska punkterna som ger en minimering av T(x) genom att använda andraderivatan.

Beräkning: T''(x) = d^2/dx^2 (2x^3 - 9x^2 + 12x + 5) = 12x - 18

Resultat: 12x - 18

Steg 6

Beskrivning: Beräkna T''(x) vid x = 1.5 och x = 2.

Beräkning: T''(1.5) = 12(1.5) - 18 = 0, T''(2) = 12(2) - 18 = 6

Resultat: T''(1.5) = 0, T''(2) = 6

Steg 7

Beskrivning: Eftersom T''(2) > 0, är x = 2 en lokal minimumpunkt. Kontrollera T(x) vid x = 1.5 och x = 2 för att säkerställa global minimering.

Beräkning: T(1.5) = 2(1.5)^3 - 9(1.5)^2 + 12(1.5) + 5, T(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 5

Resultat: T(1.5) = 5.5, T(2) = 5

Steg 8

Beskrivning: Eftersom T(1.5) < T(2), är x = 1.5 den optimala lösningen.

Beräkning: x = 1.5

Resultat: 1.5

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan används för att hitta kritiska punkter där funktionens lutning är noll, vilket kan indikera extrempunkter.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Extremvärdesanalys används för att bestämma om en kritisk punkt är ett lokalt minimum eller maximum.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x) = 3x^3 - 15x^2 + 24x + 10 för att minimera kostnaderna. Bestäm det optimala värdet på x.

Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima eller maxima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar rörelseekvationen s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 4 för att bestämma när hastigheten är som lägst. Hitta det optimala värdet på t.

Förklaring: Beräkna derivatan för att hitta hastighetsfunktionens kritiska punkter och använd andraderivatan för att bestämma minima.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(t) = -2t^3 + 12t^2 - 18t + 8 i blodet för att optimera doseringen. Bestäm när koncentrationen är som högst.

Förklaring: Använd derivata för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är maxima eller minima.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som ska optimeras och bestämma variabeln som påverkar resultatet.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan för att hitta kritiska punkter och använd andraderivatan för att bestämma om dessa punkter är minima eller maxima.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att jämföra värdena av funktionen vid kritiska punkter och använda andraderivatan.

Nyckelbegrepp

Derivata Extremvärden Andraderivata

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.