Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En fysiker analyserar rörelsen av en partikel i ett magnetfält. Partikelns position som funktion av tiden ges av x(t) = 3t^2 - 2t + 1. Bestäm partikelns hastighet vid tiden t = 4 sekunder.

SVAR

22 m/s

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm hastighetsfunktionen genom att derivera positionsfunktionen x(t).

Beräkning: v(t) = d/dt [3t^2 - 2t + 1] = 6t - 2

Resultat: v(t) = 6t - 2

Steg 2

Beskrivning: Beräkna hastigheten vid t = 4 sekunder.

Beräkning: v(4) = 6(4) - 2 = 24 - 2

Resultat: 22 m/s

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan av en funktion ger hastigheten av förändring av funktionen med avseende på dess variabel.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringen av en aktiekurs som ges av funktionen P(t) = 5t^3 - 3t^2 + 2. Bestäm den momentana förändringshastigheten vid t = 2 dagar.

Förklaring: Derivera funktionen P(t) för att få förändringshastigheten och beräkna vid t = 2.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar en projektils rörelse där höjden ges av h(t) = -4.9t^2 + 20t + 5. Bestäm projektilens hastighet vid t = 3 sekunder.

Förklaring: Derivera höjdfunktionen för att få hastighetsfunktionen och beräkna vid t = 3.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar förändringshastigheten av en medicinkoncentration i blodet som ges av C(t) = 10e^(-0.5t). Bestäm förändringshastigheten vid t = 5 timmar.

Förklaring: Använd derivatan av exponentiella funktioner för att bestämma förändringshastigheten vid t = 5.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att bestämma hastigheten, vilket är derivatan av positionsfunktionen.

Lösningsstrategi

Derivera positionsfunktionen för att få hastighetsfunktionen och beräkna sedan hastigheten vid den givna tiden.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivatan och den numeriska substitutionen för att säkerställa korrekthet.

Nyckelbegrepp

Derivata Hastighetsberäkning Tillämpning av derivata

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.