Uppgift 1 - Envariabelanalys (Avancerad nivå)

En biolog modellerar tillväxten av en bakteriekultur med hjälp av funktionen f(t) = 100e^{0.03t}, där t är tiden i timmar. Bestäm den tidpunkt då tillväxttakten är exakt 3 bakterier per timme.

SVAR

t = 0

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna derivatan av tillväxtfunktionen f(t) = 100e^{0.03t} för att få tillväxttakten.

Beräkning: f'(t) = 100 * 0.03 * e^{0.03t} = 3e^{0.03t}

Resultat: f'(t) = 3e^{0.03t}

Steg 2

Beskrivning: Sätt tillväxttakten lika med 3 och lös ekvationen för t.

Beräkning: 3e^{0.03t} = 3

Resultat: e^{0.03t} = 1

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen e^{0.03t} = 1 för t.

Beräkning: 0.03t = ln(1) = 0

Resultat: t = 0

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan av en funktion beskriver hur funktionen förändras med avseende på sin variabel.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar en investering som växer enligt funktionen g(t) = 500e^{0.05t}. Bestäm den tidpunkt då tillväxttakten är 25 enheter per år.

Förklaring: Använd derivatan av g(t) för att hitta tillväxttakten och lös ekvationen för t.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar en radioaktiv isotop vars massa minskar enligt funktionen h(t) = 200e^{-0.02t}. Bestäm den tidpunkt då minskningstakten är 4 enheter per timme.

Förklaring: Beräkna derivatan av h(t) och sätt den lika med -4 för att lösa för t.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen i blodet som förändras enligt funktionen k(t) = 50e^{-0.1t}. Bestäm den tidpunkt då koncentrationen minskar med 5 enheter per timme.

Förklaring: Hitta derivatan av k(t) och sätt den lika med -5 för att lösa för t.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen som beskriver tillväxten och beräkna dess derivata för att få tillväxttakten.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan, sätt den lika med den givna tillväxttakten och lös ekvationen för t.

Verifieringsmetod

Kontrollera att lösningen uppfyller villkoren i problemet genom att sätta in t-värdet i derivatan.

Nyckelbegrepp

Derivata Exponentiella funktioner Lösning av exponentiella ekvationer

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.