Uppgift 1 - Envariabelanalys (Grundläggande nivå)

En meteorolog studerar förändringen i lufttrycket över tid vid en viss plats. Lufttrycket, i enheter av hPa, ges av funktionen \( P(t) = 1000 + 20e^{-0.1t} \), där \( t \) är tiden i timmar. Bestäm hastigheten med vilken lufttrycket förändras efter 5 timmar.

SVAR

Hastigheten med vilken lufttrycket förändras efter 5 timmar är \( -1.2131 \) hPa per timme.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm derivatan av funktionen \( P(t) \) för att hitta förändringshastigheten.

Beräkning: P'(t) = \frac{d}{dt}(1000 + 20e^{-0.1t}) = 0 - 20 \cdot 0.1e^{-0.1t} = -2e^{-0.1t}

Resultat: P'(t) = -2e^{-0.1t}

Steg 2

Beskrivning: Beräkna \( P'(5) \) för att hitta förändringshastigheten efter 5 timmar.

Beräkning: P'(5) = -2e^{-0.1 \times 5} = -2e^{-0.5}

Resultat: P'(5) = -2e^{-0.5}

Steg 3

Beskrivning: Använd en räknare för att beräkna \( e^{-0.5} \).

Beräkning: e^{-0.5} \approx 0.6065

Resultat: P'(5) = -2 \times 0.6065 = -1.2131

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Derivata Grundläggande

Derivatan av en funktion beskriver hur funktionen förändras med avseende på sin variabel.

Läs mer →

Logaritmer och exponenter Grundläggande

Exponentiella funktioner och deras derivator är viktiga för att modellera tillväxt och avtagande processer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En läkemedelskoncentration i blodet ges av funktionen \( C(t) = 50e^{-0.2t} \). Bestäm hastigheten med vilken koncentrationen förändras efter 3 timmar.

Förklaring: Beräkna derivatan \( C'(t) \) och använd den för att hitta \( C'(3) \).

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att bestämma förändringshastigheten av en funktion vid en viss tidpunkt.

Lösningsstrategi

Derivera funktionen för att få förändringshastigheten och utvärdera den vid den givna tidpunkten.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivatan och exponentiella uttryck med en räknare.

Nyckelbegrepp

Derivata Exponentiella funktioner

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.