Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Medel nivå)

En specialist inom meteorologi använder matematik för att modellera temperaturförändringar i en region. Anta att temperaturen T(x, y) i grader Celsius vid en punkt (x, y) i regionen ges av funktionen T(x, y) = 3x^2 - 2xy + 4y^2 + 5x - 3y + 7. Bestäm den punkt där temperaturen är som högst inom området begränsat av x = 0, y = 0, x = 3 och y = 3.

SVAR

(3, 3)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av T(x, y) med avseende på x och y.

Beräkning: T_x = ∂T/∂x = 6x - 2y + 5; T_y = ∂T/∂y = -2x + 8y - 3

Resultat: T_x = 6x - 2y + 5; T_y = -2x + 8y - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 2y + 5 = 0; -2x + 8y - 3 = 0

Resultat: x = 1, y = 1

Steg 3

Beskrivning: Kontrollera temperaturen vid hörnpunkterna och den kritiska punkten.

Beräkning: T(0, 0) = 7; T(3, 0) = 52; T(0, 3) = 40; T(3, 3) = 88; T(1, 1) = 14

Resultat: T(3, 3) = 88

Steg 4

Beskrivning: Jämför temperaturerna för att hitta den högsta.

Beräkning: Maximal temperatur är vid (3, 3) med T(3, 3) = 88

Resultat: (3, 3)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Extremvärden Grundläggande

För att hitta extremvärden av en funktion av flera variabler, beräknas de partiella derivatorna och sätts lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 4x + 5y + 10 för att minimera kostnaderna. Bestäm den punkt där kostnaden är som lägst inom området x = 0 till x = 2 och y = 0 till y = 2.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och jämför kostnaderna vid hörnpunkterna och kritiska punkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = 5x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - y + 8 för att hitta den punkt där potentialen är som högst inom området x = 1 till x = 4 och y = 1 till y = 4.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och sätt dem lika med noll för att hitta kritiska punkter. Jämför potentialen vid dessa punkter och hörnpunkterna.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 5x + 4y + 12 i blodet för att maximera effekten. Bestäm den punkt där koncentrationen är som högst inom området x = 0 till x = 5 och y = 0 till y = 5.

Förklaring: Använd metoder för att hitta extremvärden av funktioner av flera variabler för att bestämma den punkt där koncentrationen är som högst.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och området där extremvärden ska hittas.

Lösningsstrategi

Beräkna partiella derivator, hitta kritiska punkter, och jämför värden vid hörnpunkter och kritiska punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av partiella derivator och jämförelser av funktionens värden vid olika punkter.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.