Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Medel nivå)

En forskare löser ett komplext matematiskt problem där de behöver bestämma det kritiska värdet av funktionen f(x, y) = 3x^2 + 4y^2 - 5xy + 7. Vad är det kritiska värdet?

SVAR

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av f med avseende på x och y.

Beräkning: f_x = ∂/∂x (3x^2 + 4y^2 - 5xy + 7) = 6x - 5y; f_y = ∂/∂y (3x^2 + 4y^2 - 5xy + 7) = 8y - 5x

Resultat: f_x = 6x - 5y; f_y = 8y - 5x

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna till noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 5y = 0; 8y - 5x = 0

Resultat: x = 0, y = 0

Steg 3

Beskrivning: Beräkna värdet av funktionen f vid den kritiska punkten (0, 0).

Beräkning: f(0, 0) = 3(0)^2 + 4(0)^2 - 5(0)(0) + 7

Resultat: 7

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion förändras med avseende på en variabel medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar en kostnadsfunktion C(x, y) = 2x^2 + 3y^2 - 4xy + 10. Bestäm det kritiska värdet.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och beräkna sedan värdet av funktionen vid dessa punkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar en potentialfunktion V(x, y) = x^2 + y^2 - xy + 5. Hitta det kritiska värdet.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter. Beräkna sedan V vid dessa punkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar en doseringsfunktion D(x, y) = 5x^2 + 6y^2 - 7xy + 12. Vad är det kritiska värdet?

Förklaring: Använd metoden för att hitta kritiska punkter genom att sätta de partiella derivatorna till noll och beräkna sedan D vid dessa punkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och de variabler som påverkar dess kritiska värden.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och beräkna sedan funktionen vid dessa punkter.

Verifieringsmetod

Dubbelkolla beräkningarna av de partiella derivatorna och värdet av funktionen vid de kritiska punkterna.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Funktionens värde

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.