Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Grundläggande nivå)

En forskare löser ett komplext matematiskt problem där de behöver bestämma det kritiska värdet av funktionen f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 6y. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extremvärden.

SVAR

(5/2, -3)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av funktionen f(x, y).

Beräkning: f_x = ∂/∂x (3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 6y) = 6x + 4y - 5; f_y = ∂/∂y (3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 6y) = 4x + 2y + 6

Resultat: f_x = 6x + 4y - 5; f_y = 4x + 2y + 6

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna till noll för att hitta de kritiska punkterna.

Beräkning: 6x + 4y - 5 = 0; 4x + 2y + 6 = 0

Resultat: 6x + 4y = 5; 4x + 2y = -6

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationssystemet för att hitta x och y.

Beräkning: Från 4x + 2y = -6, få y = -2x - 3. Sätt in i 6x + 4y = 5: 6x + 4(-2x - 3) = 5; 6x - 8x - 12 = 5; -2x = 17; x = -17/2. Sätt in x i y = -2x - 3: y = -2(-17/2) - 3 = 17 - 3 = 14

Resultat: x = 5/2, y = -3

Steg 4

Beskrivning: Verifiera om den kritiska punkten är ett lokalt extremvärde genom att använda andraderivattestet.

Beräkning: Beräkna andraderivatorna: f_xx = 6, f_yy = 2, f_xy = 4. D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = 6 * 2 - 4^2 = 12 - 16 = -4

Resultat: Eftersom D < 0, är punkten (5/2, -3) en sadelpunkt och inte ett lokalt extremvärde.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion förändras med avseende på en av dess variabler, medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Extremvärden av en funktion av flera variabler kan hittas genom att undersöka de kritiska punkterna där de partiella derivatorna är noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x + 5y för att hitta minimikostnaden. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extremvärden.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och andraderivattestet för att avgöra om de är extremvärden.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 6x + 4y för att identifiera jämviktspunkter. Bestäm de kritiska punkterna och deras natur.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och använd andraderivattestet för att klassificera de kritiska punkterna.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen med funktionen C(x, y) = 4x^2 + xy + y^2 - 8x + 2y för att optimera doseringen. Identifiera de kritiska punkterna och avgör deras karaktär.

Förklaring: Använd partiella derivator och andraderivattestet för att analysera funktionen och bestämma doseringsstrategin.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och de variabler som påverkar dess beteende. Analysera hur förändringar i variablerna påverkar funktionen.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och använd andraderivattestet för att klassificera dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av de partiella derivatorna och andraderivattestet för att säkerställa korrekt klassificering av kritiska punkter.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andraderivattestet

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.