Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Medel nivå)

En forskare löser ett komplext matematiskt problem där de behöver bestämma det kritiska värdet av funktionen f(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 5y. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extrempunkter.

SVAR

(2, -1)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av funktionen f(x, y).

Beräkning: f_x = ∂/∂x (3x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 5y) = 6x + 2y - 4

Resultat: f_x = 6x + 2y - 4

Steg 2

Beskrivning: Beräkna den partiella derivatan med avseende på y.

Beräkning: f_y = ∂/∂y (3x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 5y) = 2x + 2y + 5

Resultat: f_y = 2x + 2y + 5

Steg 3

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna till noll för att hitta de kritiska punkterna.

Beräkning: 6x + 2y - 4 = 0 och 2x + 2y + 5 = 0

Resultat: 6x + 2y - 4 = 0, 2x + 2y + 5 = 0

Steg 4

Beskrivning: Lös ekvationssystemet för att hitta x och y.

Beräkning: Från 2x + 2y + 5 = 0, få y = -x - 2. Sätt in i 6x + 2y - 4 = 0: 6x + 2(-x - 2) - 4 = 0 => 6x - 2x - 4 - 4 = 0 => 4x = 8 => x = 2. Sätt in x = 2 i y = -x - 2: y = -2 - 2 = -1.

Resultat: (x, y) = (2, -1)

Steg 5

Beskrivning: Kontrollera om den kritiska punkten är en lokal extrempunkt genom att använda andra derivatans test.

Beräkning: Beräkna f_xx = 6, f_yy = 2, f_xy = 2. D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = 6 * 2 - 2^2 = 12 - 4 = 8. Eftersom D > 0 och f_xx > 0, är (2, -1) en lokal minimum.

Resultat: (2, -1)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion förändras med avseende på en variabel medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = x^2 + 4xy + 4y^2 - 8x - 16y + 30. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extrempunkter.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och andra derivatans test för att klassificera dem.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = 5x^2 + 3xy + y^2 - 10x + 6y. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extrempunkter.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och lös ekvationssystemet för att hitta kritiska punkter. Använd andra derivatans test för klassificering.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar en responsfunktion R(x, y) = 2x^2 + xy + 3y^2 - 6x - 9y + 12. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extrempunkter.

Förklaring: Hitta de kritiska punkterna genom att sätta de partiella derivatorna till noll och använd andra derivatans test för att avgöra typen av extrempunkt.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och de variabler som påverkar dess beteende.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatans test för att klassificera dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivator och lösningar av ekvationssystemet för att säkerställa korrekthet.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.