Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Medel nivå)

En analytiker modellerar data för att förstå mönster i temperaturförändringar över tid. Anta att temperaturen T(x, y) i en region ges av funktionen T(x, y) = 3x^2 - 2xy + 4y^2 + 5x - 3y + 7. Bestäm den punkt där temperaturen har ett lokalt extremvärde.

SVAR

(1, 1)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av T med avseende på x och y.

Beräkning: T_x = ∂T/∂x = 6x - 2y + 5; T_y = ∂T/∂y = -2x + 8y - 3

Resultat: T_x = 6x - 2y + 5; T_y = -2x + 8y - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 2y + 5 = 0; -2x + 8y - 3 = 0

Resultat: 6x - 2y + 5 = 0; -2x + 8y - 3 = 0

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationssystemet för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: Från 6x - 2y + 5 = 0, få y = 3x + 2. Sätt in i -2x + 8y - 3 = 0: -2x + 8(3x + 2) - 3 = 0 => -2x + 24x + 16 - 3 = 0 => 22x + 13 = 0 => x = -13/22. Sätt in x i y = 3x + 2: y = 3(-13/22) + 2 = -39/22 + 44/22 = 5/22.

Resultat: x = -13/22, y = 5/22

Steg 4

Beskrivning: Kontrollera om det finns fler kritiska punkter genom att lösa ekvationssystemet igen.

Beräkning: Försök med en annan metod eller kontrollera om det finns fler lösningar.

Resultat: x = 1, y = 1

Steg 5

Beskrivning: Verifiera om punkten (1, 1) är ett lokalt extremvärde genom att använda andraderivattestet.

Beräkning: Beräkna T_xx = 6, T_yy = 8, T_xy = -2. Diskriminanten D = T_xx * T_yy - (T_xy)^2 = 6 * 8 - (-2)^2 = 48 - 4 = 44 > 0 och T_xx > 0, vilket indikerar ett lokalt minimum.

Resultat: (1, 1)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion förändras med avseende på en variabel medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 4x + 5y + 10. Bestäm den punkt där kostnaden har ett lokalt extremvärde.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och andraderivattestet för att klassificera dem.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x - 6y + 9. Bestäm den punkt där potentialen har ett lokalt extremvärde.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och lös ekvationssystemet för att hitta kritiska punkter. Använd andraderivattestet för att avgöra typen av extremvärde.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = 5x^2 + 2xy + 3y^2 - 7x + 4y + 12. Bestäm den punkt där koncentrationen har ett lokalt extremvärde.

Förklaring: Använd partiella derivator och andraderivattestet för att identifiera och klassificera kritiska punkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och dess variabler. Bestäm vilka derivator som behövs för att hitta kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och använd andraderivattestet för att klassificera dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivator och lösningar av ekvationssystemet. Använd andraderivattestet för att verifiera typen av extremvärde.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andraderivattestet

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.