Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Grundläggande nivå)

En analytiker modellerar data för att förstå mönster i temperaturförändringar över en region. Anta att temperaturen T(x, y) i grader Celsius vid en punkt (x, y) i regionen ges av funktionen T(x, y) = 3x^2 - 2xy + 4y^2 + 5x - 3y + 10. Bestäm den punkt där temperaturen är som högst inom området begränsat av x = 0, x = 5, y = 0 och y = 5.

SVAR

T(5, 5) = 160

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av T(x, y) med avseende på x och y.

Beräkning: T_x = ∂T/∂x = 6x - 2y + 5; T_y = ∂T/∂y = -2x + 8y - 3

Resultat: T_x = 6x - 2y + 5; T_y = -2x + 8y - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna till noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 2y + 5 = 0; -2x + 8y - 3 = 0

Resultat: x = 1, y = 1

Steg 3

Beskrivning: Beräkna temperaturen vid den kritiska punkten och vid hörnen av området.

Beräkning: T(1, 1) = 3(1)^2 - 2(1)(1) + 4(1)^2 + 5(1) - 3(1) + 10 = 16; T(0, 0) = 10; T(5, 0) = 100; T(0, 5) = 85; T(5, 5) = 160

Resultat: T(5, 5) = 160

Steg 4

Beskrivning: Jämför temperaturerna för att hitta den högsta.

Beräkning: Max(T(1, 1), T(0, 0), T(5, 0), T(0, 5), T(5, 5)) = 160

Resultat: T(5, 5) = 160

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Extremvärden Grundläggande

För att hitta extremvärden av en funktion av flera variabler, beräknas de partiella derivatorna och sätts till noll för att hitta kritiska punkter.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar en kostnadsfunktion C(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 4x + 6y + 12. Bestäm den punkt där kostnaden är som lägst inom området x = 0 till x = 3 och y = 0 till y = 3.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och jämför kostnaden vid dessa och hörnpunkterna.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialen V(x, y) = 5x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - y + 8 i ett elektriskt fält. Bestäm den punkt där potentialen är som högst inom området x = -1 till x = 2 och y = -1 till y = 2.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter. Jämför potentialen vid dessa och hörnpunkterna.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = 4x^2 + xy - 2y^2 + 3x - 5y + 7 i blodet. Bestäm den punkt där koncentrationen är som högst inom området x = 0 till x = 4 och y = 0 till y = 4.

Förklaring: Använd metoden för att hitta extremvärden av funktioner av flera variabler för att bestämma den högsta koncentrationen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och området där extremvärden ska hittas.

Lösningsstrategi

Beräkna partiella derivator, hitta kritiska punkter, och jämför värden vid dessa och hörnpunkterna.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningar av derivator och jämförelse av funktionens värden vid kritiska punkter och hörnpunkter.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Extremvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.