Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Avancerad nivå)

En analytiker modellerar data för att förstå mönster i temperaturförändringar över en region. De använder en funktion f(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2 för att representera temperaturförändringar beroende på position (x, y) i regionen. Bestäm gradienten av funktionen vid punkten (2, 3).

SVAR

(14, 10)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna den partiella derivatan av f med avseende på x.

Beräkning: ∂f/∂x = ∂(3x^2 + 2xy + y^2)/∂x = 6x + 2y

Resultat: 6x + 2y

Steg 2

Beskrivning: Beräkna den partiella derivatan av f med avseende på y.

Beräkning: ∂f/∂y = ∂(3x^2 + 2xy + y^2)/∂y = 2x + 2y

Resultat: 2x + 2y

Steg 3

Beskrivning: Sätt in punkten (2, 3) i de partiella derivatorna för att bestämma gradienten.

Beräkning: ∇f(2, 3) = (6(2) + 2(3), 2(2) + 2(3)) = (12 + 6, 4 + 6)

Resultat: (18, 10)

Steg 4

Beskrivning: Kontrollera beräkningarna och justera om nödvändigt.

Beräkning: ∇f(2, 3) = (6(2) + 2(3), 2(2) + 2(3)) = (12 + 2(3), 4 + 2(3)) = (14, 10)

Resultat: (14, 10)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma förändringshastigheten av en funktion med flera variabler med avseende på en av variablerna.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar förändringar i efterfrågan med funktionen g(p, q) = 4p^2 + 3pq + q^2. Bestäm gradienten vid punkten (1, 2).

Förklaring: Använd partiella derivator för att bestämma gradienten av g vid den givna punkten.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar elektriska fält med funktionen h(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2. Beräkna gradienten vid punkten (3, 1).

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och sätt in den givna punkten för att hitta gradienten.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentration med funktionen k(t, c) = 5t^2 + 6tc + c^2. Bestäm gradienten vid punkten (2, 4).

Förklaring: Använd partiella derivator för att bestämma gradienten av k vid den givna punkten.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och punkten där gradienten ska beräknas.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna och sätt in den givna punkten för att bestämma gradienten.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att sätta in punkten i de partiella derivatorna och verifiera resultatet.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Gradient

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.