Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Grundläggande nivå)

En specialist inom meteorologi använder matematik för att modellera temperaturförändringar över en region. Anta att temperaturen T(x, y) i grader Celsius vid en punkt (x, y) i regionen ges av funktionen T(x, y) = 3x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 5y + 10. Bestäm den punkt där temperaturen är som högst inom området definierat av 0 ≤ x ≤ 5 och 0 ≤ y ≤ 5.

SVAR

(5, 5)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av T(x, y) med avseende på x och y.

Beräkning: T_x = ∂T/∂x = 6x - 2y + 4; T_y = ∂T/∂y = -2x + 2y - 5

Resultat: T_x = 6x - 2y + 4; T_y = -2x + 2y - 5

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 2y + 4 = 0; -2x + 2y - 5 = 0

Resultat: x = 5, y = 5

Steg 3

Beskrivning: Kontrollera om denna punkt är ett maximum genom att använda andra derivatatestet.

Beräkning: T_xx = 6, T_yy = 2, T_xy = -2; D = T_xx * T_yy - (T_xy)^2 = 6*2 - (-2)^2 = 8

Resultat: D = 8 > 0 och T_xx = 6 > 0, vilket indikerar ett lokalt minimum, men vi kontrollerar gränserna.

Steg 4

Beskrivning: Eftersom vi söker ett maximum, kontrollera värdena vid gränserna av området.

Beräkning: T(0,0) = 10, T(5,5) = 60, T(0,5) = 15, T(5,0) = 55

Resultat: Maximal temperatur vid (5, 5)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion förändras med avseende på en variabel medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = 4x^2 + 3xy + y^2 - 6x + 2y + 12. Bestäm den punkt där kostnaden är som lägst inom området 0 ≤ x ≤ 3 och 0 ≤ y ≤ 3.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och kontrollera gränserna för att bestämma minimum.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = x^3 - 3xy + 4y^2 - 2x + y. Bestäm den punkt där potentialen är som högst inom området -2 ≤ x ≤ 2 och -2 ≤ y ≤ 2.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och använd andra derivatatestet för att identifiera maximipunkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = 5x^2 + 2xy - y^2 + 3x - 4y + 8 i en kropp. Bestäm den punkt där koncentrationen är som högst inom området 0 ≤ x ≤ 4 och 0 ≤ y ≤ 4.

Förklaring: Använd optimeringstekniker för att hitta maximipunkten genom att undersöka kritiska punkter och gränser.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och området där optimering ska ske. Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter.

Lösningsstrategi

Beräkna partiella derivator, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatatestet för att klassificera dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningar genom att verifiera kritiska punkter och gränsvärden för att säkerställa att maximum hittas.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andra derivatatestet

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.