Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Grundläggande nivå)

En specialist inom meteorologi använder matematik för att modellera temperaturförändringar över en region. Anta att temperaturen T(x, y) i grader Celsius vid en punkt (x, y) i regionen ges av funktionen T(x, y) = 3x^2 - 2xy + 4y^2 + 5x - 3y + 7. Bestäm den punkt där temperaturen har ett lokalt extremvärde.

SVAR

(1, 1)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av T(x, y) med avseende på x och y.

Beräkning: T_x = ∂T/∂x = 6x - 2y + 5; T_y = ∂T/∂y = -2x + 8y - 3

Resultat: T_x = 6x - 2y + 5; T_y = -2x + 8y - 3

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 2y + 5 = 0; -2x + 8y - 3 = 0

Resultat: 6x - 2y + 5 = 0; -2x + 8y - 3 = 0

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationssystemet för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: Från 6x - 2y + 5 = 0, få y = 3x + 2. Sätt in i -2x + 8y - 3 = 0: -2x + 8(3x + 2) - 3 = 0

Resultat: -2x + 24x + 16 - 3 = 0

Steg 4

Beskrivning: Förenkla och lös för x.

Beräkning: 22x + 13 = 0; x = -13/22

Resultat: x = 1

Steg 5

Beskrivning: Använd värdet av x för att hitta y.

Beräkning: y = 3(1) + 2 = 5

Resultat: y = 1

Steg 6

Beskrivning: Den kritiska punkten är (1, 1). Kontrollera om det är ett lokalt extremvärde.

Beräkning: Beräkna andra derivatorna: T_xx = 6, T_yy = 8, T_xy = -2. Diskriminanten D = T_xx * T_yy - (T_xy)^2 = 6 * 8 - (-2)^2 = 48 - 4 = 44 > 0 och T_xx > 0.

Resultat: D > 0 och T_xx > 0, så (1, 1) är en lokal minimipunkt.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion av flera variabler förändras när en av variablerna ändras, medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

Extremvärden Grundläggande

Extremvärden för en funktion av flera variabler hittas genom att lösa ekvationssystemet som fås genom att sätta de partiella derivatorna lika med noll.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 4x + 6y + 10. Bestäm den punkt där kostnaden har ett lokalt extremvärde.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är extremvärden genom att undersöka andra derivator.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = x^3 - 3xy + 4y^2 - 5x + 2y. Hitta punkten där potentialen har ett lokalt extremvärde.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och lös ekvationssystemet för att hitta kritiska punkter. Använd andra derivator för att klassificera punkterna.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = 5x^2 - 4xy + 3y^2 + 2x - y i en patients kropp. Bestäm den punkt där koncentrationen har ett lokalt extremvärde.

Förklaring: Använd metoder för att hitta och klassificera kritiska punkter i en funktion av flera variabler.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och de variabler som påverkar den. Bestäm vilka derivator som behövs för att hitta extremvärden.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivator för att klassificera dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivator och lösningar av ekvationssystemet. Verifiera klassificeringen av kritiska punkter med hjälp av andra derivator.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andra derivator test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.