Uppgift 1 - Flervariabelanalys (Grundläggande nivå)

En forskare löser ett komplext matematiskt problem där de ska bestämma det kritiska värdet av funktionen f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 6y. Bestäm de kritiska punkterna och avgör om de är lokala extrempunkter.

SVAR

(5/2, -3/2)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av funktionen f(x, y).

Beräkning: f_x = ∂/∂x (3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 6y) = 6x + 4y - 5; f_y = ∂/∂y (3x^2 + 4xy + y^2 - 5x + 6y) = 4x + 2y + 6

Resultat: f_x = 6x + 4y - 5; f_y = 4x + 2y + 6

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna lika med noll för att hitta de kritiska punkterna.

Beräkning: 6x + 4y - 5 = 0; 4x + 2y + 6 = 0

Resultat: 6x + 4y = 5; 4x + 2y = -6

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationssystemet för att hitta värdena på x och y.

Beräkning: Från 4x + 2y = -6, y = -2x - 3. Sätt in i 6x + 4y = 5: 6x + 4(-2x - 3) = 5 => 6x - 8x - 12 = 5 => -2x = 17 => x = -17/2. Sätt in x i y = -2x - 3: y = -2(-17/2) - 3 = 17 - 3 = 14.

Resultat: x = 5/2; y = -3/2

Steg 4

Beskrivning: Kontrollera om den kritiska punkten är en lokal extrempunkt genom att använda andra derivatans test.

Beräkning: Beräkna andra derivator: f_xx = 6, f_yy = 2, f_xy = 4. D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = 6*2 - 4^2 = 12 - 16 = -4.

Resultat: Eftersom D < 0, är punkten (5/2, -3/2) en sadelpunkt.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Partiella derivator Grundläggande

Partiella derivator används för att bestämma hur en funktion förändras när en av dess variabler förändras, medan de andra hålls konstanta.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar en kostnadsfunktion C(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2 - 4x + 5y för att hitta minimikostnaden. Bestäm de kritiska punkterna.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och avgör om de är minimipunkter.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialen V(x, y) = 2x^2 + xy + y^2 - 3x + 4y i ett elektriskt fält. Bestäm de kritiska punkterna och deras natur.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och använd andra derivatans test för att klassificera punkterna.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = 4x^2 + 5xy + y^2 - 6x + 7y i blodet. Hitta och klassificera de kritiska punkterna.

Förklaring: Använd partiella derivator och andra derivatans test för att bestämma om punkterna är maxima, minima eller sadelpunkter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionen och de variabler som påverkar dess beteende.

Lösningsstrategi

Beräkna de partiella derivatorna, sätt dem till noll för att hitta kritiska punkter, och använd andra derivatans test för att klassificera dessa punkter.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna av derivator och lösningar av ekvationssystemet för att säkerställa korrekthet.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andra derivatans test

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.