Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En datavetare arbetar med att förbättra en bildbehandlingsalgoritm som använder sig av linjära transformationer för att justera bilder. En del av denna process innebär att rotera en bild i 3D-rummet. Datavetaren har en rotationsmatris \( R \) som ges av: \[ R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Om \( \theta = \frac{\pi}{4} \), vad är den resulterande matrisen \( R \) och hur påverkar denna rotation en vektor \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)?

SVAR

Den resulterande matrisen \( R \) är \[ R = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \) roteras till \( \mathbf{v'} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna värdena för \( \cos(\theta) \) och \( \sin(\theta) \) när \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Beräkning: \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Resultat: Värdena är \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) för både \( \cos \) och \( \sin \).

Steg 2

Beskrivning: Substituera dessa värden i rotationsmatrisen \( R \).

Beräkning: \[ R = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Resultat: Den resulterande matrisen är \( R = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Steg 3

Beskrivning: Multiplicera matrisen \( R \) med vektorn \( \mathbf{v} \).

Beräkning: \[ \mathbf{v'} = R \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Resultat: Den roterade vektorn är \( \mathbf{v'} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matriser och matrisoperationer Grundläggande

Förståelse för hur matriser representerar linjära transformationer och hur man utför matris-vektor-multiplikation.

Läs mer →

Matrismultiplikation Grundläggande

Kunskap om hur man multiplicerar matriser med vektorer för att tillämpa transformationer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Rotera vektorn \( \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) med samma matris \( R \) där \( \theta = \frac{\pi}{4} \). Vad blir den nya vektorn?

Förklaring: Använd matris-vektor-multiplikation för att bestämma den nya positionen av vektorn efter rotation.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om en 3D-rotation representerad av en rotationsmatris.

Lösningsstrategi

Beräkna trigonometriska värden, substituera i matrisen och utför matris-vektor-multiplikation.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande vektorn har samma längd som den ursprungliga, vilket bevarar vektorns norm.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matris-vektor-multiplikation Trigonometriska funktioner

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.