Uppgift 1 - Linjär Algebra (Medel nivå)

En astronom studerar rörelsen hos en asteroid i rymden. För att modellera asteroidens bana används en transformationsmatris som beskriver en 3D-rotation följt av en skalning. Rotationen ges av en matris \( R \) och skalningen av en matris \( S \). Om \( R = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) och \( S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \), bestäm den resulterande transformationsmatrisen \( T \) och använd den för att transformera vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \).

SVAR

Den resulterande transformationsmatrisen \( T \) är \( \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \). Den transformerade vektorn \( T\mathbf{v} \) är \( \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna den resulterande transformationsmatrisen \( T \) genom att multiplicera skalningsmatrisen \( S \) med rotationsmatrisen \( R \).

Beräkning: T = S \cdot R = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Resultat: T = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Steg 2

Beskrivning: Använd transformationsmatrisen \( T \) för att transformera vektorn \( \mathbf{v} \).

Beräkning: T\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Resultat: T\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

Matrismultiplikation används för att kombinera två transformationer, såsom rotation och skalning, till en enda transformationsmatris.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Om \( R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) och \( S = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \), vad är den resulterande transformationsmatrisen \( T \)?

Förklaring: Multiplicera matrisen \( S \) med matrisen \( R \) för att få transformationsmatrisen \( T \).

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera de två transformationerna: rotation och skalning, och deras respektive matriser.

Lösningsstrategi

Multiplicera skalningsmatrisen med rotationsmatrisen för att få den totala transformationsmatrisen och använd sedan denna för att transformera vektorn.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att verifiera att varje element i den resulterande matrisen och vektorn stämmer överens med matrismultiplikationsreglerna.

Nyckelbegrepp

matrismultiplikation 3D-transformationer

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.