Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker undersöker kvantmekaniska system och behöver bestämma egenvärdena för en Hermitesk matris \( A \) given av: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 3 & i \\ 0 & -i & 1 \end{pmatrix} \] Beräkna egenvärdena för matrisen \( A \).

SVAR

Egenvärdena för matrisen \( A \) är \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3 \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna karakteristiska polynomet för matrisen \( A \).

Beräkning: Det karakteristiska polynomet ges av \( \det(A - \lambda I) \).

Resultat: Karakteristiska polynomet är \( (2-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda) - i(-i)) + i(i(1-\lambda) - 0) \).

Steg 2

Beskrivning: Förenkla uttrycket för det karakteristiska polynomet.

Beräkning: Förenkla till \( (2-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda) + 1) - i^2(1-\lambda) \).

Resultat: Det karakteristiska polynomet förenklas till \( (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) \).

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen \( (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = 0 \) för att hitta egenvärdena.

Beräkning: Lös \( (2-\lambda) = 0 \) och \( \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \).

Resultat: Egenvärdena är \( \lambda_1 = 2 \), \( \lambda_2 = 1 \), \( \lambda_3 = 3 \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

Förståelse för hur man beräknar egenvärden och egenvektorer för en matris.

Läs mer →

Determinanter Grundläggande

Kunskap om hur man beräknar determinanter är nödvändig för att lösa karakteristiska polynom.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Beräkna egenvärdena för matrisen \( B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \).

Förklaring: Egenvärdena för en diagonal matris är elementen på diagonalen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att matrisen är Hermitesk och att vi behöver beräkna egenvärden.

Lösningsstrategi

Använd determinanter för att beräkna det karakteristiska polynomet och lös sedan för egenvärden.

Verifieringsmetod

Kontrollera att egenvärdena är reella, vilket de ska vara för en Hermitesk matris.

Nyckelbegrepp

Hermiteska matriser Karakteristiskt polynom Egenvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.