Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En forskare inom datorgrafik arbetar med att utveckla en ny 3D-modell för en virtuell verklighetsapplikation. För att rotera modellen i rummet använder forskaren en rotationsmatris. Anta att modellen initialt är placerad längs x-axeln och forskaren vill rotera den 90 grader moturs kring z-axeln. Vilken rotationsmatris ska användas och vad blir den nya positionen för en punkt som ursprungligen befinner sig vid $(1, 0, 0)$?

SVAR

Rotationsmatrisen för en 90 graders rotation moturs kring z-axeln är: \[ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Den nya positionen för punkten $(1, 0, 0)$ efter rotationen är $(0, 1, 0)$.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en 90 graders rotation moturs kring z-axeln.

Beräkning: Rotationsmatrisen är: \[ R = \begin{pmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Resultat: \[ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera den ursprungliga positionen av punkten med rotationsmatrisen.

Beräkning: Multiplicera $R$ med vektorn $(1, 0, 0)$: \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Resultat: Den nya positionen är $(0, 1, 0)$.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

Förståelse av hur matriser multipliceras med vektorer är nödvändig för att tillämpa transformationsmatriser.

Läs mer →

Linjära avbildningar Grundläggande

Rotationsmatriser är exempel på linjära avbildningar som används för att transformera koordinater i rummet.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En designer vill rotera en 3D-modell 180 grader kring y-axeln. Vilken rotationsmatris ska användas och vad blir den nya positionen för en punkt som ursprungligen befinner sig vid $(1, 0, 0)$?

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för en 180 graders rotation kring y-axeln och multiplicera med den ursprungliga punkten.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera vilken typ av rotation som ska utföras och vilken axel rotationen sker kring.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för att transformera den ursprungliga punktens koordinater.

Verifieringsmetod

Kontrollera att rotationsmatrisen är korrekt och att multiplikationen ger en rimlig ny position.

Nyckelbegrepp

rotationsmatris matrismultiplikation linjär avbildning

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.